Главная Уход за руками Уравнения.

Уравнения.

Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:

Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».

Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

Порядок решения линейных уравнений

Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).

Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);

Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Способы решения простых уравнений

Понятие уравнения.
Часто приходится встречаться с такой штукой, как уравнение. Что это такое надо знать. Но знать- это мало. Надо иметь хотя бы маленькое представление о том, как их решать. Посмотрим, что это такое.

Пусть у нас какое-нибудь число, к примеру х. Такой знак обычно ставят в уравнение и называют переменной. Положим, х=3. Дано выражение х+2=5. Это выражение- и есть простейшее уравнение, в котором надо найти, чему будет равен х. х- значение, или корень данного уравнения. корня может быть и 2, и 3, и сколько угодно, или вообще нет. Но в простейших всегда 1 корень.

Смысл решения уравнения.
Посмотрим, как же решать это уравнение. Часто надо понимать смысл. Дано уравнение х+1=7. Возьмите и начертите какую-нибудь прямую или линию, или просто представьте. На ней пусть отмечена точка 7, она же точка у(это тоже переменная, её тоже часто ставят. В данном случае х+1=у). Теперь сдвинем точку 7 назад на 1, т.е., она перейдёт в точку 6. Точно такое же значение примет у-1. Получим, что у-1=х+1-1=х. У нас х=6. Это и есть решение уравнения, или его корень.

Т.е., у уравнения есть 2 части, разделённые знаком равно. Мы, изменяя 1-ую часть, изменяем и вторую, т.е., получим:
В уравнении каждую его часть можно сладывать, вычитать, умножать, делить, возводить на 1 и то же число, а также бучиксировать.
Последние 2 действия нам не важны в решении простейших уравнений. Их используют при решении сложных.

В данном примере мы вычли из каждой части 1. Всё осталось равным. На самом деле, 6+1=7 и х+1=7, значит х и 6 одно и тоже. Такое преобразование называется равносильным. Так мы и поступаем во всех простых уравнениях с обычными арифметическими действиями. Рассмотрим примеры:
Полезные действия при решении уравнений.
1) 4+х=8 Отнимем от каждой части 4, т.е., 0+х=4 или х=4
2) х-5=2 Прибавим к обеим частям 5, получим х-5+5=2+5, х-0=7, х=7
3) х+1=х Надо такое число, складывая которое с 1, не изменится. Такого числа не существует, поэтому х не имеет корней
4) х+0=х Любое число, сложив с 0, не изменяется. Поэтому х является любым числом
5) 3-х=2 Вот это уже сложный пример. И хотя можно логически догадаться, мы решим так, как доказывает шаровую логику. Х под минусом. Поэтому тут немного сложнее. У нас 2 способа:
1\ Отнимем 3 от каждой части: 0-х=2-3=-1, или -х=-1(0-х=-х). Здесь можно использовать 2 способа, но мы выберем смысловой. -х и -1. У обоих есть минус. Т.е., значит, и х=1, мы просто убрали у них минусы, изменили их в другую сторону. На линии точка 0 и -1. 0=О, -1=А. Отрезок ОА мы развернём к +1. Это показывает то, что минусы можно отбрасывать, но если они есть у обоих частей.
Теперь мы посмотрим другой способ(второй тип первого способа заключался в том, что можно умножить обе части на -1, но мы до этого ещё не дошли): Сложим в каждом уравнении х: 3-х+х=2+х, 2+х=3, х=1
6) 2+х=3+х Сразу видно, х не имеет решений, и по смыслу, и так: 2+х-х=3+х-х, 2=3 что это? неверное равенство! Можно сделать вывод при решении простых уравнений: В уравнении можно перенести какое-нибудь слагаемое, изменив его знак на противоположный Например, х+4=6. Перенесём 4, изменив знак на противоположный, т.е. х=6-4=2. Противоположное для 4 число -4. Ставим или убираем минус. Мы так и поступали, но понимая под таким углом, решать легче. Попробуйте сами и вы в этом убедитесь.
7) х+5=15-х Перенесём -х в другую сторону, то есть 2х+5=15(знак умножения отбрасывают для сокращения). 2х=10, х=5(Почему так, это позже)

Уравнения с умножением и делением.
Рассмотрим простой пример:
1) 2х=10
Он был у нас недавно. Теперь мы объясним это. Мы можем обе части поделить на 2: 2х:2=10:2, х=5. В умножении всё аналогично сложению. Мы делаем то же самое. В уравнении можно перенести какой-нибудь множитель, изменив его знак на взаимно-обратный Как это понять? Например, перенеся 2 на ту сторону получим 1:2. 2:1 и 1:2- взаимно-обратны. Иногда 1: не обязательно. В 2х=10, 2 переносим, изменяя знак, получим- х=10х1:2. Мы просто поменяли знак. Если стоит знак деления, т.е., х:4, то мы переставим, поставив знак умножения.
2)х:6=12:6 переносим, изменяя знак на противоположный. Тогда, 12х6=72. х=72 Часто в уравнении важно не только умение решения, но и опыта при счёте
3)21162:х=705,4 Здесь надо использовать логические соображения. Как в сложении, можно х перенести к 705,4, получим новое уравнение 705,4х=21162, х=21162:705,4=30. Не надо бояться чисел и уравнения. Например, уравнение большое, но на самом деле, оно такое лёгкое, надо просто его решить. Или например большие числа. Замените их на мелкие числа, вы сразу поймёте как решать. Потом замените на исходные и сосчитайте. Если уж вообще тяжело, воспользуйтесь калькулятором.
4) х+х+5+х+4+х+х+5+х+х+х+6+1+х=102 Здесь мы просто соединим иксы и числа:х+х+х+х+х+х+х+х+х+5+5+4+6+1=9х+21 Дальше, 21 перенесём, 102-21=81, получим 9х=81, х=81:9=9
Теперь рассмотрим ещё один пример:
5)20х-6=51+12 Сложим 51 и 12, 51+12=63. Теперь 6 перенесём, 63+6=69. х=69:20. Но 69 на 20 не делится. Поэтому нам можно оставить так, но лучше, 690:2:100=345:100=3,45. :100 мы определили по логическим соображениям.
6)4:х=2хПеренесём:х на ту сторону, получим, 2хх=4, х на х=2. В таком случае, ответ будет корень из 2, но этого вам пока не надо:
Ответ: корень из 2

Упрощение переноса.
Возьмём к примеру, уравнение а+х=б. В таком случае, «а» переносим на ту сторону, получаем х=б-а. То же самое мы могли сделать, чтобы найти а. Другой пример: х-а=б. Тогда а переносим на ту сторону, т.е., х=б+а. Если а-х=б, то мы х можем перенести на ту сторону, т.е, а=х+б. Это мы рассмотрели. Теперь уберём б, тогда, х=а-б.
В умножении и делении рассуждения аналогичны. Чтобы найти слагаемое, надо отнять от суммы другое(другие) слагаемые. (Например, 3+х=6. 3- другое слагаемое, поэтому от суммы 6 отнимаем 3)
Чтобы найти уменьшаемое, надо сложить все остальные числа. (Например, х-6=3. 6 и 3 складываем, так как они- остальные числа)
Чтобы найти вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность. (Например, 6-х=3. 6- уменьшаемое, 3- частное. Поэтому, х=6-3)

Так же дела обстоят, когда много чисел. К примеру, 5-х-у+3=12. Чтобы найти х, а это вычитаемое, надо сначала найти уменьшаемое. Это не 5, как многие думают. Объединим всё в 1 кучу, т.е., (5+3-у)-х=12, х=5+3-у-12 Кстати, нахождение вычитаемого самое сложное, но вы к этому привыкните.

1) х:3у=12. Чтобы найти х, надо всё остальное перемножить. Это как сложение, просто мы меняем знаки действий аналогично: х=3у Х 12= 36у.
2) 2у:(х+1)=4м х+1- это как один х, но с зависимыми числами, по типу причастного или деепричастного оборота. Найти оборот можно как обычно: х+1=2у:4м, х=0,5у:м-1 (Мы здесь сократили. Желательно сокращать, где можно, так ведь легче решать)Раскрытие скобок и вынос за скобки
Мы уже решали, переносили. Но иногда приходится сталкиваться с другими проблемами решения уравнений.
1) 4+(х-5)=12 Если перед скобками +, то скобки можно опустить:
4+х-5=12-1+х=12х=13
Хоть здесь и надо было решить не обязательно так. Но это мы сделали ради примера. Но если стоит минус:4-(х-5) Тогда мы тоже раскрываем, но знаки внутри скобок станут противоположными:4-х+5 Почему так происходит? Это надо разбирать. Пусть у нас 12-(3+5)=4. Мы будем поочерёдно вычитать, сначала 12-3, потом 12-3-5, таким образом, мы раскрыли скобки. А если 12-(3-5)=14? Тогда мы можем прибавить к обеим частям (3-5). У нас получится:12=14+(3-5). Тогда мы просто уберём: 14+3-5 и получим верное равенство. Это получается из-за переноса и перемены знак на противоположный. С другой стороны, при 12-(3-5). Мы можем сначала прибавить 5, это даже по смыслу понятно, 3-5+5. Потом остаётся отнять 3: 12+5-3. Но это то же самое, что и 12-3+5. Таким образом, в этом нетрудно разобраться. Это действительно и при многих числах. К примеру, -(х+у-2+4+6-2а+3б)= -х-у+2-4-6+2а-3б. Решим к примеру:
2) 5+х-(х+2)=2+х Это легко сделать, раскрыв скобки:5+х-х+2=2+х2+х=7, х=5

Таким образом, у нас свойства:
1) От перестановки слагаемых сумма не меняется(при пересмтановки множителей тоже)
2) При раскрытии скобок с вычитанием все знаки в скобках меняются на противоположные(при раскрытии деления то же самое, только меняется на взаимно обратные) Теперь познакомимся с такой вещью, как распределительное свойство. К примеру, как решить 5х-2х=12? В таком случае, приводят подобные слагаемые, т.е., коэффициенты 5 и 2 объединяются:(5-2)х=12

Как это сделали? Удивительно? Но это практически самое основное правило математики. На нём держатся практически все задачи. Рассмотрим. У нас 2 группы бутылок в 2 ряда. В 1 группе 5 штук, во второй, 3. Но мы можем вторую группу подставить к первой, тогда у нас будет 8 бутылок в 2 ряда. Но это и есть то самое свойство:5+5+3+3. По первому свойству, поменяем слагаемые: 5+3+5+3= (5+3)+(5+3). Вот и всё.

3) Распределительное свойство умножения- ах+бх= (а+б)х и наоборот3) 3(4+х)+5(4+х). Сократить:(3+5)(4+х)= 8(4+х)= 32+8х Таким образом, мы ещё облегчили решение уравнений.Линейные уравнения Мы рассмотрели многие свойства и преобразования. Теперь покажем общий вид уравнений, с которыми часто сталкиваются, и их придётся решать.
Это базовая основа. Линейные уравнения вида ах+б=0 или ах+б=сх+д Покажем примеры:
1) 4х+12=20 Переносим 12 или по свойству: 4х=20-12=8, х=2
Таким образом, решение уравнения ах+б=с таково: х=(с-б):а
2) 12-40х=25 Поставим так: -40х+12=25, теперь х= (25-12):(-40)= -13:40=-0,325
3) 5х+2=7х-7 Здесь желательно переносить с иксами на 1 сторону, с числами- на другую, чтобы сокращать. Лучше всё делать по очереди и переносить так, чтобы избежать отрицательных чисел.2=7х-5х-7=2х-7, далее -7: 2+7=2х, 2х=9, х=4,5

Задачи.
Часто в задачах всё решается через уравнения. Любая задача- это своего рода уравнения, корни которого- какая-то величина.
1) Вася за 3 дня вспахал на 6 аров меньше, чем за 5 дней. Найти, сколько вспахал. С первого взгляда кажется, что задача нерешима, т.е., в ней недостаточно данных. На самым деле, нужно просто уметь составлять математическую модель. Пусть х- это вспахано у Васи: 5х и 3х. 3х меньше 5х на 5, т.е., 3х+5=5х. Решаем это уравнение и получим, х=2,5 аров. Задача решена.
2) У Васи марок на 10 больше, чем у Пети. Но вместе у них 40 марок. Найти, сколько марок у каждого. Пусть у Пети х марок, тогда у Васи х+10, т.е., на 10 больше. Вместе, т.е., х+(х+10)=40, решаем соответствующее уравнение: 2х=30, х=15- это у Пети. У Васи 15+10=25 Иногда приходится сталкиваться с большими количествами переменных, но и там часто применяются линейные методы. Здесь мы это не будем рассматривать.
3) У Васи и у Пети 30 машинок. Но у Сени тоже есть машинки, и если Вася отдаст Сене 5 машинок, то у Сени будет машинок вдвое больше, чем у Васи. Но если Петя отдаст ещё 5 машинок, то тогда у Сени будет втрое больше, чем у Васи. Найти, сколько машинок у каждого. Создадим несколько переменных: х-Вася, у-Петя, а-Сеня. Тогда получится система, в которой нужно найти общие решения.х+у=30а+5=2(х-5)а+5+5=3(х-5) В таком случае выражают 1 переменную через другую и решают уравнения. Но иногда применяются и другие методы. Видим, что с прибавлением 5 к Сене, у нас получилось прибавление и х-5. Тогда, 5=х-5, а х=10. у=30-10=20. Итак, у Васи 10, у Пети 20. Сеню найти легко, подставив значения. а+5=2(х-5). х-5=5, тогда: а+5=2Х5=10, а=5Ответ: у Васи 10, у Пети 20, у Сени 5. Теперь посмотрим ещё 1 сложный вариант:
4) Сумма цифр трёхзначного числа 9. Если убрать последнюю цифру, и поменять цифры местами в оставшемся двузначном числе, то получится, что оно на 9 меньше, чем прежнее двузначное. А если убрать первую цифру, а остаток тоже поменять местами, то получится на 45 больше. Найти это число. Попробуйте решить эту задачу самостоятельно. Если вы сможете, то вы уже умеете хорошо решать уравнения и составлять математическую модель. Но вы, в принципе, можете посмотреть, как решать. Пусть х,у,з- это цифры. Тогда, у нас снова наподобие системы, получим данные:х+у+з=9ух+9=хууз+45=зу Начать можно методом пушики. Мы будем подбирать такие числа, что ух+9=ху. У нас есть:12 и 21, 23 и 32, 34 и 43, 45 и 54 и т.д. Мы заметили, что разница между цифрами в 1, т.е., 1+1=2 и 2-1=1 и т.п. Из этого можно заменить у, как х-1,т.е.,х+х-1+з=9, 2х+з=10Теперь посмотрим возможные варианты с плюсованием 45. Для этого втора цифра больше первой, имеем: 16 и 61, 27 и 72, 38 и 83, 49 и 94. Из этих вариантов следует, что вторая цифра на 5 больше, т.е., у+5=з., но у=х-1. Мы получили, что з=х-1+5=х+4. Тогда:2х+х+4=10, 3х=6, х=2. х-1=1, х+4=6. Получаем число 216. Ответ: 216

Линейные неравенства.
В заключении, покажем, что же такое линейные неравенства. Это похоже на уравнение, но х тут меньше или больше чего-то. В неравенствах действуют такие же принципы, что и в уравнениях. Обе части можно складывать, умножать, возводить и т.п. К примеру:
1)x+4 4х-2Здесь мы можем получить, что 5х+4>4х, и х+4>0. Переносим и получаем, что х больше -4 В неравенствах действуют все свойства линейных уравнений Надо учитывать, что есть и сложные неравенства, которые решаются по другому. Также, как и уравнения, неравенства могут не иметь решений, или иметь любые решения.
3)х+4 х Ещё один интересный случай. Заметим, что если перенести х на ту часть, то получится, что х больше нуля.
5)аХа

Решение простых уравнений. 5 класс

Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».

Решение уравнений на сложение и вычитание

Как найти неизвестное
слагаемое

Как найти неизвестное
уменьшаемое

Как найти неизвестное
вычитаемое

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

Как найти неизвестный
множитель

Как найти неизвестное
делимое

Как найти неизвестный
делитель

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка

Уравнения 5 класса

Сегодня мы рассмотрим более сложные уравнения 5 класса, содержащие несколько действий. Чтобы найти неизвестную переменную, в таких уравнениях надо применить не одно, а два правила.

1) x:7+11=21

Выражение, стоящее в левой части - сумма двух слагаемых

Таким образом, переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:

Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

2) 65-5z=30

Правая часть уравнения представляет собой разность:

Переменная z является частью неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

Получили простое уравнение, в котором z - неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

3) 120:y-23=17

В правой части уравнения - разность. Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:

Здесь y - неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:

4) (48+k) ∙ 8=400

Левая часть уравнения представляет собой произведение. Переменная k - часть первого множителя:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

В новом уравнении k - неизвестное слагаемое:

Здесь мы решали уравнения 5 класса без использования свойств сложения и вычитания. В 6 классе правила раскрытия скобок упрощаются, и решать такие уравнения становится проще.

182 Comments

Спасибо огромное самый лучший сайт где я искала уравнения

Спасибо Вам за труды! Все изложено настолько доступно, что мой сын сказал, что Вы «классный» учитель. Простите за цитату, но прочитав Ваши разъяснения, он все понимает. Хотя до этого, в 5 классе, все это проходил, но недопонимал.

Спасибо Вам, Наталья, за теплые слова!

как решить x(x+4)=77

В 5 классе я могу только посоветовать угадать корни этого уравнения. Можно рассуждать так: 77=7х11. Поэтому один из множителей должен равняться 7, другой - 11. Поскольку х+4 больше, чем х, то х=7.
Позже Вы узнаете, что это уравнение - квадратное, и корней у него два. Второй корень - число отрицательное, в 5 классе их еще не учат. (Второй корень х=-11).

как решить такое уравнение??144-(х:11+21)*5=14 спасибо

144 - уменьшаемое, (х:11+21)*5 - вычитаемое, 14 - разность. х - элемент неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность: (х:11+21)*5=144-14, отсюда (х:11+21)*5=130. В новом уравнении х:11+21 - 1й множитель, 5 - 2й множитель, 130 - произведение. х - элемент неизвестного первого множителя. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х:11+21=130:5, отсюда х:11+21=26. В новом уравнении х:11 - 1-е слагаемое, 21 - 2-е слагаемое, 26 - сумма. х - элемент 1-го слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х:11=26-21, х:11=5. В этом уравнении х - делимое, 11 - делитель, 5 - частное. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное: х=5∙11, х=55. Ответ: 55.
Полезно проверить себя: 144-(55:11+21)∙5=144-(5+21)∙5=144-26∙5=144-130=14. Верно.

Я закінчила 5 клас. Мені 11 років. І мені дуже подобається розв’язувати рівняння. Я розв’язала всі рівняння які давали Вам і в мене все вийшло як і у Вас. Дякую.

помогите решить 4x-x=8.7

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:
3х=8,7
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
х=8,7:3
х=2,9

как решить такое уравнение:
(5.4у + 8.3) * 2.1= 23.1

(5,4у + 8,3) * 2,1= 23,1
(5,4у + 8,3) - неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
5,4у + 8,3 = 23,1:2,1
5,4у + 8,3 =11
Чтобы найти неизвестное слагаемое 5,4y, надо из суммы вычесть известное слагаемое:
5,4у=11-8,3
5,4у=2,7
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на этот множитель:
у=2,7:5,4
у=0,5
При решении уравнений с десятичными дробями удобно сначала избавиться от запятой. Как это сделать, постараюсь рассказать на днях.

У меня такая же проблема. Только там где стоит умножение у меня вычитание

Как решить вот это уравнение?
(5.4у + 8.3) - 2.1 = 23.1

Я считаю что там где стоит ‘вычитание’ должно быть ‘умножение’
Задание на печатала сама учительница, поэтому всё должно быть правильно. Но решить не получается.
Помогите пожалуйста, заранее спасибо

(5.4у + 8.3) - 2.1 = 23.1
Ищем неизвестное уменьшаемое:
5.4у + 8.3 = 23.1 + 2.1
5.4у + 8.3 = 25.2
Теперь найдем неизвестное слагаемое:
5.4у = 25.2 - 8.3
5.4у =16.9
Осталось найти неизвестный множитель:
y=16.9/5/4
y=169/54
и выделить из неправильной дроби целую часть
y=3 7/54

Помогите решить:
14y-2y+76=100

Степан, 14y и 2y - подобные слагаемые. Значит, их можно вычесть: 14y-2y=12y.
Тогда в уравнении 12y+76=100 12y - неизвестное слагаемое. Найдите 12y как неизвестное слагаемое. После этого в произведении 12y ищите y как неизвестный множитель.

Алина, сумму в правой часто можно найти: (18-х)+10=56
Между скобками и 10 стоит «+», значит, выражение в скобках - неизвестное слагаемое: 18-х=56-10; 18-х=46. Остается найти неизвестное вычитаемое х: х=18-46; х=-28.

Выражение в скобках, 5x-7 - делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное: 5x-7=528:16; 5x-7=33. 5x - уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое: 5x=33+7; 5x=40. Остается найти неизвестный множитель: x=40:5; x=8.

как решить такое уровнение 11у+32у-127=45

Сначала нужно привести подобные слагаемые: 11у+32у-127=45; 43y-127=45. 43y - неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: 43y=45+127; 43y=172. Чтобы найти неизвестный множитель y, нужно произведение разделить на известный множитель: y=172:43; y=4.

спасибо вам, Светлана.

День добрый. Помогите пожалуйста решить уравнение (9x+7)*y=45x+y. Спасибо!

Сергей, это уравнение - с двумя переменными (x и y). Нужно или еще одно уравнение (чтобы количество неизвестных было не больше количества неизвестных), либо какие-либо дополнительные условия.

Помогите как решать подобные уравнения - 7х-26,7-2х.ну так, к примеру, а то нигде нет. Заранее спасибо. сайт очень полезный

Даша, это уравнение - с подобными слагаемыми. Постараюсь написать отдельный пост по решению таких уравнений.
P.S. Здесь:http://www.for6cl.uznateshe.ru/uravneniya-s-podobnymi-slagaemymi/

помогите как решить это уравнение 10x+x+1=4*(x+x+1)

Это - линейное уравнение.
Сначала следует привести подобные слагаемые:11x+1=4*(2x+1). Затем - раскрыть скобки: 11x+1=8x+4. Теперь неизвестные переносим в одну сторону, известные - в другую, изменив при этом их знаки:11x-8x=4-1. Упрощаем:3х=3. Теперь обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом: х=3:3, х=1.

не могу понять, Светлана Иванова, помогите..5(14+b)+6b=158… вроде делаю как Вы изложили, да видать не усвоил))) распишите еще раз)))

Аскар, сначала раскройте скобки: 70+5b+6b=158. Это - уравнение с подобными слагаемыми, как раз недавно речь о таких уравнениях велась. После приведения подобных слагаемых получаем 70+11b=158. А дальше - все, как обычно: 11b - неизвестное слагаемое, 11b=158-70, 11b=88. b - неизвестный множитель, b=88:11? b=8.

Как решить такое уравнение: (19*700):70+(850+х)=6000:50 Заранее спасибо!

Сначала уравнение надо упростить: 19*(700:70)+(850+х)=6000:50; 19*10+(850+х)=120; 190+(850+х)=120.Здесь можно пойти двумя путями: либо раскрыть скобки, либо выражение в скобках рассматривать как неизвестное слагаемое. Например, 190+850+х=120;
1040+x=120;x=120-1040; х=-920.

Здравствуйте! А как решить x ÷ 9 = x ÷ 5? Если не сложно?!)

Это линейное уравнение. Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные - в другую, изменив при этом их знаки: x-x=5-9; 0x=-4. Это уравнение не имеет корней.

Ваше решение правильное (если уже прошли дроби). Вариант с использованием основного свойства пропорции: 5х=9х; 5х-9х=0; -4х=0, х=0 - легче, но пропорцию еще не учили.

помогите, пожалуйста как решить эту задачу,
заранее спасибо!
Паук и муха сидят на противоположных вершинах куба. Паук может ползти по ребру куба и по диоганали грани куба. Сколько существует вариантов движения паука к мухе?

Здравствуйте. Светлана помогите решить эту задачу, если не сложно.
Паук и муха сидят на противоположных вершинах куба. Паук может ползти по ребру куба и по диагоналиграни куба. Сколько существует вариантов движения паука и мухе?

Здравствуйте помогите разобрать уравнение 5а + 5 *14= 8 * м - 8 *15

Алексей, уточните, пожалуйста условие. У Вас в условии 2 переменные.

Помогите пожалуйста решить!
9(143-13х)=234

Между 9 и выражением в скобках стоит знак «∙» (хотя его не пишут). Значит, левая часть - это произведение. Чтобы найти неизвестный множитель (143-13х), надо произведение разделить на известный множитель: 143-13х=234:9;143-13х=26.
143-13х - разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое 13х, надо из уменьшаемого вычесть разность:13х=143-26;13х=117.
13х - произведение. Чтобы найти неизвестный множитель x, произведение делим на известный множитель: х=117:13; х=9.

Помогите решить- 88000:110+x=809

Упрощаем: 800+x=809 и находим неизвестное слагаемое x=809-800,x=9.

Помогите не могу решить уравнение 5-х*х=1
Надо срочно!

Помогите решить уравнение (надо очень срочно) 5-х*х=1

5-x²=1. Здесь x² - неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, надо из уменьшаемого вычесть разность:x²=5-1, x²=4. Квадрат какого числа равен 4? 2. Если уже прошли отрицательные числа, то еще и -2. То есть x=2 и x=-2.

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение 5(а-2)+3(а+3)

Здравствуйте, Ангелина! Вы забыли указать, чему равно это выражение.

помогите решить уравнение 13(х+6)-72=123

13(х+6) - неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности прибавить вычитаемое: 13(х+6)=123+72, 13(х+6)=195.Теперь ищем неизвестный множитель (х+6). Для этого надо произведение разделить на известный множитель:х+6=195:13, х+6=15. Осталось найти неизвестное слагаемое x=15-6, x=9.

Это уравнение в 5 классе? В 6 классе я бы посоветовала умножить обе части уравнения на 7. Получаем 7x+x=224∙7, 8x=1568, x=1568:8, x=196.

(8Х+24):5:4+6- неизвестный делитель, следовательно, делимое делим на частное: (8Х+24):5:4+6=10:1, (8Х+24):5:4+6=10.
(8Х+24):5:4 - неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое: (8Х+24):5:4=10-6, (8Х+24):5:4=4.
(8Х+24):5 - неизвестное делимое, следовательно, частное умножаем на делитель: (8Х+24):5=4∙4, (8Х+24):5=16.
Далее ищем неизвестное делимое: 8Х+24=16∙5, 8Х+24=80; неизвестное слагаемое 8Х=80-24, 8Х=56; и неизвестный множитель:
x=56:8, x=7.

Условие было таким.Одно из чисел в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа, если их сумма равна 224? Это задача 5 класса.

Ольга, при решении задач всегда лучше брать за x то, что меньше. В Вашей задаче примем за x меньшее число, тогда большее - 7x. Так как их сумма равна 224, имеем уравнение: 7x+x=224, 8x=224, x=224:8, x=28.
Значит, меньшее число рано 28, а большее - 7∙28=196.
Как видите, так проще.

Помогите решить уравнение, пожалуйста!

97+75:(50-5х)=300:3, 97+75:(50-5х)=100,
75:(50-5х)=100-97, 75:(50-5х)=3,
50-5х=75:3,50-5х=25,
5х=50-25,5х=25,
х=25:5, х=5.

Спасибо Вам огромное, Светлана Ивановна! В жизни бы не догадалась, как поступить проще.

Пожалуйста, Ольга!
Только Светлана Иванова?

Помогите решить уравнение 2х+8+4х=20

помогите решить уравнение 4 целых 2 девятых + (16 целых 5 девятых - x) = 15 целых 1 девятая - 8 целых 7 девятых

4 2/9 +(16 5/9 - x)=15 1/9 - 8 7/9
15 1/9 - 8 7/9=14 10/9 - 8 7/9=6 3/9.
4 2/9 +(16 5/9 - x)=6 3/9
16 5/9 - x=6 3/9 - 4 2/9
16 5/9 - x=2 1/9
x=16 5/9 - 2 1/9
x=14 4/9

здравствуйте помогите решить уравнение (2х-200):13-1=123

и пожалуйста ещё уравнение очень нужно помогите (321+х)45-85=77

(321+х)∙45-85=77
(321+х)∙45=77+85
(321+х)∙45=162
321+х=162:45
321+х=3,6
х=3,6-321
х=-317,4

(2х-200):13-1=123
(2х-200):13=123+1
(2х-200):13=124
2х-200=124∙13
2х-200=1612
2х=1612+200
2х=1812
x=1812:2
х=906

помогите решить уравнение (476-х):31=320:31

(476-х):31=320:31
476-х=320
х=475-320
х=155

как объяснить ребенка переход от первой строки ко второй? куда исчезло деление на 31?

Два числа разделили на одно и то же число 31, получили равные результаты. Следовательно, эти числа равны между собой.

Здравствуйте,Светлана.Помогите пожалуйста решить уравнение. 123+у=357- 85

123+у=357- 85
123+у=272
у=272-123
у=149
Антон, это уравнение Вы вполне могли бы решить самостоятельно. Все необходимые подсказки и пояснения на сайте есть. Постарайтесь разобраться.

Помогите решить такое уравнение:
7.5x-2.46x=78.3+124.56

Сначала упрощаем обе части уравнения:
5,04x=202,86
Затем ищем неизвестный множитель:
x=202,86:5,04
x=20286:504
x=40,25

Помогите решить уравнение
2,4x+x+9,1=38

Сначала упрощаем левую часть уравнения
3,4х+9,1=38. Затем ищем неизвестное слагаемое:3,4х=38-9,1; 3,4х=28,9. Затем - неизвестный множитель: х=28,9:3,4; х=8,5.

Светлана добрый день. Читал Ваши коментарии, очень понравилось как Вы объясняете. Объясните пожалуйста как решить задачу и составить уравнение по ней: во дворе находятся куры и ягнята. Известно, что ягнят в три раза меньше, чем кур. Количество ног кур и ягнят составляет 40. Сколько во дворе кур и сколько ягнят? Заранее спасибо.

Нурлан, здравствуйте!
Пусть во дворе х ягнят, тогда кур - 3х. У каждого ягненка 4 ноги, значит, у всех ягнят ног 4х. У каждой курицы 2 ноги, поэтому у всех кур ног 3х∙2=6х. Всего ног у кур и ягнят 4х+6х, что по условию задачи равно 40. Составим и решим уравнение:4х+6х=40; 10х=20; х=4. Значит, во дворе 4 ягненка и 3∙4=12 кур.

как решить такое уравнение? 27(n-27)=27?

27(n-27)=27
Чтобы раскрыть неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
n-27=27:27
n-27=1. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность:
n=27+1
n=28.

Светлана добрый день, помогите пожалуйста объяснить ребенку в пятом классе как решить задачу: Чашка кофе с сахаром стоит 1.10$, кофе стоит дороже сахара на 1$, сколько стоит сахар. Вот проблема в том что уравнения с двумя неизвестными они еще не проходили.

Извините, не всегда получается ответить вовремя, увы.
Пусть сахар стоит x $, тогда кофе - (x+1) $. Следовательно, чашка кофе с сахаром стоит x+(x+1) $, что по условию задачи равно 1.10 $ Составляем уравнение и решаем его:
x+(x+1)=1,1
x+x+1=1,1
2x=1,1-1
2x=0,1
x=0,1:2
x=0,55
Значит, сахар стоит 0,55 $. Если десятичные дроби еще не проходили, нужно цены сразу же перевести в центы.

Как решить уравнения 29х-15х+16=100
Пожалуйста помогите

14х+16=100
14х=100-16
14х=84
x=84:14
x=6.

www.for6cl.uznateshe.ru

Решение уравнений

На данном уроке подробно рассмотрены способы решения уравнений. Объяснены способы решения уравнений, как методом подбора, так и с учетом взаимосвязи компонентов действий сложения и вычитания.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Введение понятия «уравнение»

Определим, что такое «уравнение».

Правильный ответ: уравнение – это математическое равенство, которое содержит неизвестное число. Неизвестное число обозначают буквами латинского алфавита.

Найдем среди данных записей уравнения.

первая запись – это равенство, но в нем отсутствуют буквы латинского алфавита, значит, она не является уравнением;

вторая запись – это неравенство, поэтому не соответствует определению уравнения;

третья запись – это математическое равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой латинского алфавита, значит, является уравнением;

четвертая запись не является равенством, значит, это не уравнение.

Введение понятия «корень уравнения»

Что значит «решить уравнение»?

Правильный ответ: решить уравнение – значит найти такое числовое значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

В математике говорят: решить уравнение – это значит найти корень уравнения.

Решение уравнение способом подбора

Из чисел 2, 5, 8, 11 выберем для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство.

В первое уравнение 18-х =10 подставим первое число 2. Получаем: 18-2=10. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 18-5=10. Это равенство также нельзя назвать верным. Значит, число 5 тоже не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 8. Получаем: 18-8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 8 является корнем данного уравнения.

Продолжаем рассуждать. В уравнение 2 + х = 7 подставим первое число 2. Получаем: 2+2=7. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 2+5=7. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 5 является корнем данного уравнения.

2-9=2, но 2 меньше, чем 9, поэтому вычитание мы выполнить не сможем. Нужно попробовать подставить в уравнение число, которое больше, чем 9. подставим число 11. Получаем: 11-9=2. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 11 является корнем данного уравнения.

Найдем корень последнего уравнения. Подставим число 2 в уравнение х+8=10. Получаем: 2+8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 2 является корнем данного уравнения.

Данные уравнения мы решали способом подбора. Это способ не всегда бывает удобным. Уравнения можно решать и другим способом, но для этого нужно знать, как связаны между собой компоненты действий при сложении и вычитании.

Решение уравнений на основе знаний связи компонентов действий сложения и вычитания

Проверим себя. Как найти неизвестные компоненты?

а) чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

б) чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности.

в) чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое.

Обратим внимание: если мы умеем находить слагаемые, уменьшаемое и вычитаемое, можно решать уравнения другим способом.

Решим уравнения с объяснением.

Рассуждаем так. В уравнении 64 + d =82 выполняется сложение. В уравнении известно первое слагаемое – 64 и значение суммы – 82. Неизвестно второе слагаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Запишем.

Корень уравнения – 18. Проверим: 64+18=64+10+8=82. 82=82. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

В уравнении b — 36 = 40 выполняется вычитание. В уравнении известно вычитаемое – 36 и значение разности – 40. Неизвестно уменьшаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Запишем.

Корень уравнения – 76. Проверим: 76-36=76-30-6=40. 40=40. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

В уравнении 82 — k = 5 выполняется вычитание. В уравнении известно уменьшаемое – 82 и значение разности – 5. Неизвестно вычитаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Запишем.

Корень уравнения – 77. Проверим: 82-77=82-70-7=5. 5=5. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно

Решение уравнений, соответствующих предложенной схеме

Выберем уравнения, которые соответствуют схеме, и найдем числовое значение х (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Будем рассуждать. На данной схеме мы видим целое – 16, части – 2 и х.

Попробуем подобрать уравнение.

Рассмотрим уравнение х-2=16. В этом уравнении х – уменьшаемое, то есть самое большое число. Но на схеме самое большое число – 16, значит, это уравнение для данной схемы не подходит.

Рассмотрим второе уравнение 2+х=16. Видим, что 2 – это первое слагаемое, х – второе слагаемое. Из двух слагаемых получается целое – 16. Делаем вывод: данное уравнение к схеме подходит.

Решим его, найдем корень уравнения. Неизвестно второе слагаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Запишем.

Рассмотрим третье уравнение 16-х=2. На схеме видим, что уменьшаемое 16 – это целое, х – вычитаемое (одна часть), 2 – значение разности (вторая часть). Делаем вывод: данное уравнение к схеме подходит.

Решим его, найдем корень уравнения. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Запишем.

Сегодня на уроке мы решали уравнения способом подбора и на основе знания связи компонентов действий при сложении и вычитании.

Список литературы

Недавно звонит мама школьника, с которым я занимаюсь и просит объяснить математику ребёнку, т.к он не понимает, а она не него кричит и разговор с сыном не выходит.

У меня не математический склад ума, творческим людям это не свойственно, но я сказала, что посмотрю что они проходят и попробую. И вот что получилось.

Я взяла лист бумаги формата А4, обычный белый, фломастеры, карандаш в руки и начала выделять, то что стоит понять, запомнить, обратить внимание. И чтобы было видно, куда эта цифра переходит и как меняется.

Объяснение примеров с левой стороны, на правую сторону.

Пример № 1

Пример уравнения для 4 класса со знаком плюс.

Самым первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? Тут мы можем выполнить умножение. Умножаем 80*7 получаем 560. Переписываем ещё раз.

Х + 320 = 560 (выделила цифры зеленым маркером).

Х = 560 – 320. Минус ставим потому что при переносе числа, знак что перед ним меняется на противоположный. Выполняем вычитание.

Х = 240 Обязательно делаем проверку. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.

Проверка:

240 + 320 = 80*7 Складываем числа, с другой стороны умножаем.

Всё верно! Значит мы решили уравнение правильно!

Пример № 2

Пример уравнения для 4 класса со знаком минус.

Х – 180 = 240/3

Первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? В данном примере мы можем разделить. Производим деление 240 разделить на 3 получаем 80. Переписываем уравнение ещё раз.

Х – 180 = 80 (выделила цифры зеленым маркером).

Теперь мы видим, что у нас есть х (неизвестное) и числа, только не рядом, а разделяет их знак равно. Х в одну сторону, цифры в другую.

Х = 80 + 180 Знак плюс ставим потому что при переносе числа, знак что был перед цифрой меняется на противоположный. Считаем.

Х = 260 Выполняем проверочную работу. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.

Проверка:

260 – 180 = 240/3

Всё верно!

Пример № 3

400 – х = 275 + 25 Складываем числа.

400 – х = 300 Числа разделены знаком равенства, х является отрицательным. Чтобы сделать его положительным, нам нужно перенести его через знак равно, собираем числа в одной стороне, х в другой.

400 - 300 = х Цифра 300 была положительной, при переносе в другую сторону поменяла знак и стал минус. Считаем.

Т.к не принято так писать, а первым в уравнении должен быть х, просто меняем их местами.

Проверка:

400 – 100 = 275 + 25 Считаем.

Всё верно!

Пример № 4

Пример уравнения для 4 класса со знаком минус, где х в середине, другими словами пример уравнения, где х отрицательный в середине.

72 – х = 18 * 3 Выполняем умножение. Переписываем пример.

72 – х = 54 Выстраиваем числа в одну сторону, х в другую. Цифра 54 меняет знак на противоположный, т.к перепрыгивает через знак равно.

72 – 54 = х Считаем.

18 = х Меняем местами, для удобства.

Проверка:

72 – 18 = 18 * 3

Всё верно!

Пример № 5

Пример уравнения с х с вычитанием и сложением для 4 класса.

Х – 290 = 470 + 230 Складываем.

Х – 290 = 700 Выставляем числа с одной стороны.

Х = 700 + 290 Считаем.

Проверка:

990 – 290 = 470 + 230 Выполняем сложение.

Всё верно!

Пример № 6

Пример уравнения с х на умножение и деление для 4 класса.

15 * х = 630/70 Выполняем деление. Переписываем уравнение.

15 * х = 90 Это тоже самое, что 15х = 90 Оставляем х с одной стороны, числа с другой. Данное уравнение принимает следующий вид.

Х = 90/15 при переносе цифры 15 знак умножения меняется на деление. Считаем.

Проверка:

15*6 = 630 / 7 Выполняем умножение и вычитание.

Всё верно!

Теперь озвучиваем основные правила:

Умножаем, складываем, делим или вычитаем;
Выполняем то, что можно сделать, уравнение станет немного короче.
Х в одну сторону, цифры в другую.
Неизвестную переменную в одну сторону (не всегда это х, может быть и другая буква), числа в другую.
При переносе х или цифры через знак равенства, их знак меняется на противоположный.
Если было число положительным, то при переносе перед цифрой ставим знак минус. И наоборот, если число или х было со знаком минус, то при переносе через равно ставим знак плюс.
Если в конце уравнение начинается с числа, то просто меняем местами.
Всегда делаем проверку!

При выполнении домашнего задания, классной работы, тестов, всегда можно взять лист и написать вначале на нём и сделать проверку.

Дополнительно находим подобные примеры в интернете, дополнительных книгах, методичках. Проще не менять цифры, а брать уже готовые примеры.

Чем больше ребёнок будет решать сам, заниматься самостоятельно, тем быстрее усвоит материал.

Если ребенок не понимает примеры с уравнением, стоит объяснить пример и сказать, чтобы остальные делал по образцу.

Данное подробное описание, как объяснить уравнения с х школьнику для:

родителей;
школьников;
репетиторов;
бабушек и дедушек;
учителей;

Детям нужно все делать в цвете, разными мелками на доске, но увы не все так делают.

Из своей практики

Мальчик писал так, как хотел, вопреки существующим правилам по математике. При проверке уравнения были разные цифры и одно число (с левой стороны) не равнялось другому (то что с правой стороны), он тратил время на поиски ошибки.

При вопросе, почему он так делает? Был ответ, что он пытается угадать и думает, а вдруг сделает правильно.

В данном случае нужно каждый день (через день) решать подобные примеры. Довести действия до автоматизма и конечно все дети разные, дойти может не с первого занятия.

Если у родителей нет времени, а часто это так, потому что родители зарабатывают денежные средства, то лучше найти репетитора в своём городе, который сможет объяснить пройденный материал ребёнку.

Сейчас век ЕГЭ, тестов, контрольных работ, есть дополнительные сборники и методички. Делая за ребёнка домашние задания, родители должны помнить, что на экзамене в школе их не будет. Лучше объяснить доходчиво ребёнку 1 раз, чтобы ребёнок смог самостоятельно решать примеры.

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,
причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 - значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание - следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Как найти неизвестное
слагаемое

Как найти неизвестное
уменьшаемое

Как найти неизвестное
вычитаемое

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

Как найти неизвестный
множитель

Как найти неизвестное
делимое

Как найти неизвестный
делитель

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка

Порядок решения линейных уравнений

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Правило решений простых уравнений

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)

Линейные уравнения.

Линейные уравнения — не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: «где а и b – любые числа» . А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:

Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:

Что напрягает и подрывает доверие к математике, да.) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.

Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)

Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:

Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение

нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.

Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)

Решение линейных уравнений. Примеры.

Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.

Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.

Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) — в правой.

Для этого нужно перенести — 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а — 3 — в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря.) Получим:

Приводим подобные, считаем:

Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно — делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:

Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.

Например, вот это уравнение:

С чего начнём? С иксами — влево, без иксов — вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.

Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?

95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:

Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:

Раскрываем оставшиеся скобки:

Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:

И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:

Вот и всё. Ответ: х =0,16

Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)

Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.

Но. Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать.) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Сюрприз первый.

Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:

Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса — вправо. Со сменой знака, всё чин-чинарём. Получаем:

Считаем, и. опаньки. Получаем:

Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да.) Тупик?

Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.

Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)

Да. Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите — можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.

Вот вам и ответ: х — любое число.

Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.

Сюрприз второй.

Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:

После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:

Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред — вполне веское основание для правильного решения уравнения.)

Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)

Вот вам и ответ: решений нет.

Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.

Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)

Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.

А на ЕГЭ они будут? — слышу вопрос практичных людей. Отвечаю. В чистом виде — нет. Слишком элементарны. А вот в ГИА, или при решении задачек в ЕГЭ, вы с ними столкнётесь обязательно! Так что, меняем мышку на ручку и решаем.

Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17.

Получилось?! Поздравляю! У вас хорошие шансы на экзаменах.)

Не сходятся ответы? М-да. Это не радует. Эта не та тема, без которой можно обойтись. Рекомендую посетить Раздел 555. Там очень подробно расписано, что надо делать, и как это делать, чтобы не запутаться в решении. На примере этих уравнений.

А как решать уравнения более хитрые, — это в следующей теме.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Решение линейных уравнений 7 класс

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».

Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.

Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».

Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».

Решение простых линейных уравнений

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму - потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение - такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;
Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной - в другую;
Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа - число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
Решение - все числа. Единственный случай, когда такое возможно - уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной - слагаемые, в которых она содержится - перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» - в другую.
Приводим подобные слагаемые.
Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

Вот мы и получили ответ.

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ - любое число.

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

Выполняем последний шаг - делим все на коэффициент при «икс»:

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение - иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль - ничего страшного в этом нет.

Ноль - такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее - вправо:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых - соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений - это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Выполняем последний шаг:

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без - вправо:

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Уединить переменные.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Здесь выполняем все те же действия:

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
Как решать биквадратное уравнение
Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
Репетитор по математике: где брать учеников?

Чтобы посмотреть видео, введите свой E-mail и нажмите кнопку «Начать обучение»

Репетитор с 12-летним опытом
Видеозапись каждого занятия
Единая стоимость занятий - 3000 рублей за 60 минут

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.

Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Линейные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Линейное уравнение

Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:

Где и – любые числа;

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

Где, и – любые числа.

4. Тождественные преобразования

Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

Что такое «линейные уравнения»

или в устной форме – трем друзьям дали по яблок из расчета, что всего в наличии у Васи яблок.

И вот ты уже решил линейное уравнение
Теперь дадим этому термину математическое определение.

Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна . Оно выглядит следующим образом:

Где и – любые числа и

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

— «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

Мы видим, что справа стоит, что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное. Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет, но не надо торопиться с выводами ! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными . Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.

Перенос влево — вправо.

Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:

Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно, а не как не. И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно, .

Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно – в правую, помня, что если перед числом нет никакого знака, например, то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».

Перенес? Что у тебя получилось?

Все, что осталось сделать – привести подобные слагаемые. Приводим:

Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал. Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

Умножение-деление.

Начнем сразу же с примера

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на! Все – это означает и левую, и правую часть. Так и только так! Что у нас получается?

Посмотрим теперь другой пример:

Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на! Какой ты получил ответ? Правильно. .

Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего — Например, для решения нашего большого примера:

Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!

Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему «Формулы сокращенного умножения», так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:

Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом. Складываем все отдельно – множители, у которых есть, множители, у которых есть и остальные множители, в которых нет неизвестных. Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение . Осталось только найти!

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования – тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других. Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.

Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.

Линейные уравнения. Примеры.

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на:

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на, чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда невозможна. Почему?
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:

Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными

Теперь перейдем к чуть более сложному — линейным уравнениям с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:

Где, и – любые числа и.

Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.

Какой бы привести тебе жизненный пример. Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а яблока оставит себе. Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по яблоку? А по? А если по?

Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

– количество яблок, которое получит человек (, или, или);
– количество яблок, которое Вася возьмет себе;
– сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст яблоко, то ему необходимо покупать штук, если даст яблока – и т.д.

И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике? Строим и отмечаем значение наших, то есть точки, с координатами, и!

Как ты видишь, и зависят друг от друга линейно , отсюда и название уравнений – «линейные ».

Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

Найди и отметь на обоих рисунках точки, соответствующие.
Что у тебя получилось?

Ты видишь, что на графике первой функции одному соответствует один , то есть и линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию. Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике так же соответствует икс — , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой, которому соответствует не только один. Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия .

С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например или. Но я тебя уверяю — ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

А что будет, если мы разделим что-то на, например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость и? Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции.

Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Подведем итоги:

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.
Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
, где и – любые числа;
Линейное уравнение с двумя переменными:
, где, и – любые числа.
Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Порядок решения линейных уравнений

Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не равно 0, значит x - 3 = 0

У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:

Найти общий знаменатель;

Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого.

При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

Примеры переноса слагаемого:

Сначала переносим 5x

Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:

Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)) . Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2) и (2+7x) , так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅ 2) и (7x) . Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑ ⋅ 2) и (−3×2 ⋅ 7x) . Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства:

Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.

Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

Перенесём первое слагаемое в правую сторону уравнения. Получим:

Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:

Примеры, иллюстрирующие доказательство Править

Для уравнений Править

Допустим мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей 5 x

Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

Теперь можно привести подобные слагаемые:

Перенесём сначала 5x из левой части уравнения в правую:

Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:

Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус - на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.

Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Правило для уравнений доказано.

Для неравенств Править

Следовательно, 4 - корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.

Решение уравнений, правило переноса слагаемых

Цель урока

Образовательные задачи урока :

— Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;

Развивающие задачи урока:

— развивать самостоятельную деятельность учащихся;

— развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);

Воспитательные задачи урока:

— воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;

?Оборудование:

Мультимедиа
Интерактивная доска

Просмотр содержимого документа
«урок Решение уравнений 6 кл»

УРОК МАТЕМАТИКИ 6 КЛАСС

Учитель: Тимофеева М. А.

Цель урока : изучение правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

Образовательные задачи урока :

Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;

Развивающие задачи урока:

развивать самостоятельную деятельность учащихся;

развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);

Воспитательные задачи урока:

воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;

Основные этапы урока

1. Оргмомент, сообщение цели урока и формы работы

«Если Вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать уравнения,

2. Сегодня мы начинаем изучать тему: «Решение уравнений» (Слайд 1)

Но вы уже учились решать уравнения! Тогда что же мы будем изучать?

— Новые способы решения уравнений.

3. Повторим пройденный материал (Устная работа) (Слайд 2)

3). 7m + 8n – 5 m – 3n

4). – 6a + 12 b – 5a – 12b

5). 9x – 0,6y – 14x + 1,2y

Уравнение пришло,
тайн немало принесло

Какие выражения являются уравнениями? (Слайд 3)

4. Что называется уравнением?

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число. (Слайд 4)

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Решим устно уравнения. (Слайд 5)

Какое правило мы используем при решении?

— Нахождение неизвестного множителя.

Запишем несколько уравнений в тетрадь и решим их используя правила нахождения неизвестного слагаемого и уменьшаемого: (Слайд 7)

А как решить такое уравнение?

х + 5 = — 2х – 7 (Слайд 8)

Упростить мы не можем, т. к. подобные слагаемые находятся в разных частях уравнения, следовательно, необходимо их перенести.

Горят причудливо краски,
И как ни мудра голова,
Вы все-таки верьте в сказки
Сказка всегда права.

Давным-давно жили-были 2 короля: черный и белый. Черный король жил в Черном королевстве на правом берегу реки, а Белый король – в Белом на левом берегу. Между королевствами протекала очень бурная и опасная река. Переправиться через эту реку ни вплавь, ни на лодке было невозможно. Нужен был мост! Строительство моста шло очень долго, и вот, наконец, мост построили. Всем бы радоваться и общаться друг с другом, но вот беда: Белый король не любил черный цвет, все жители его королевства носили светлые одежды, а Черный король не любил белый цвет и, жители его королевства носили одежды темного цвета. Если кто-то из Черного королевства переходил в Белое, то сразу попадал в немилость Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля. Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали?

Женская мода и красота

Уравнения.

Порядок решения линейных уравнений

Особые случаи решения уравнений

Основные свойства уравнений

Способы решения простых уравнений

Решение простых уравнений. 5 класс

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Решение уравнений на умножение и деление

Уравнения 5 класса

182 Comments

Решение уравнений

Введение понятия «уравнение»

Введение понятия «корень уравнения»

Решение уравнение способом подбора

Решение уравнений на основе знаний связи компонентов действий сложения и вычитания

Решение уравнений, соответствующих предложенной схеме

Пример № 1

Проверка:

Пример № 2

Проверка:

Пример № 3

Проверка:

Пример № 4

Проверка:

Пример № 5

Проверка:

Пример № 6

Проверка:

Теперь озвучиваем основные правила:

Из своей практики

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Действия первой и второй ступени

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Информация для родителей

Решение уравнений на сложение и вычитание

Решение уравнений на умножение и деление

Порядок решения линейных уравнений

Особые случаи решения уравнений

Основные свойства уравнений

Правило решений простых уравнений

Линейные уравнения.

Решение линейных уравнений. Примеры.

Особые случаи при решении линейных уравнений.

Если Вам нравится этот сайт.

Решение линейных уравнений 7 класс

Свойство № 1или правило переноса

Свойство № 2 или правило деления

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Решение простых линейных уравнений

Примеры решения уравнений

Схема решения простейших линейных уравнений

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Решение сложных линейных уравнений

Нюансы решения

Решение ещё более сложных линейных уравнений

Об алгебраической сумме

Решение уравнений с дробью

Ключевые моменты

Свойство № 1или правило переноса

Свойство № 2 или правило деления

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Линейные уравнения. Начальный уровень.

Что такое «линейные уравнения»

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Перенос влево — вправо.

Умножение-деление.

Линейные уравнения с двумя переменными

Комментарии

Политика конфиденциальности

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Спасибо за сообщение!

Порядок решения линейных уравнений

Особые случаи решения уравнений

Основные свойства уравнений

Свойство № 1
или
правило переноса

Свойство № 2
или
правило деления

Свойство № 1
или
правило переноса

Свойство № 2
или
правило деления

Просмотр содержимого документа
«урок Решение уравнений 6 кл»