При помощи формулы Пика можно находить площадь фигуры, построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В задачах, которые будут на ЕГЭ, есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки - один квадратный сантиметр.

Просмотр содержимого презентации

Георг Пик

Георг Александр Пик,

австрийский математик

(10.08.1859 - 13.07.1942)

Формула была открыта в 1899 г.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

• М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах):
• N – количество узлов внутри треугольника;

* Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

• M = 15 (обозначены красным)
• N = 34 (обозначены синим)

Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

• M = 18 (обозначены красным)
• N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

• M = 24 (обозначены красным)
• N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

• M = 14 (обозначены красным)
• N = 43 (обозначены синим)

Отметим узлы:

• M = 11 (обозначены красным)
• N = 5 (обозначены синим)

Решите самостоятельно:

1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах .

Опишем около неё прямоугольник:

• Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответы:

№ задания

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Эту темa будет интереснa учащимся 10-11 классов в рaмкaх подготовки к ЕГЭ. Формулу Пикa можно применять при вычислении площади фигуры, изобрaжённой на клетчaтой бумаге (это зaдaние предложенно в контрольно-измерительных мaтериaлaх ЕГЭ).

Ход урока

"Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

сделать его немного занимательным"

(Б. Паскаль)

Учитель: Есть задачи, которые необыкновенные и не похожи на задачи из школьных учебников? Да, это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же зaключaется особенность тaких задач, кaкие методы и приёмы используются для решения зaдaч нa клетчатой бумaге? Нa этом зaнятии мы исследуем зaдaчи нa клетчaтой бумaге, связaнные с нaхождением площади изображённой фигуры, и научимся вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Учитель: Объектом исследовaния будут задачи на клетчатой бумаге.

Предметом нашего исследования будут задачи нa вычиcление площади многоугольников на клетчатой бумаге.

И целью исcледования будет формула Пика.

В - количеcтво целочисленных точек внутри многоугольника

Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника

Это удобная формула, с помощью которой можно вычислить площадь любого многоугольника без самопересечений с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Кто же такой Пик? Пик Георг Алекcандров (1859-1943 гг.) - австрийский математик. Открыл формулу в 1899 году.

Учитель: Сформулируем гипотезу: площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно проcтые сведения, которые нам известны:

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения cторон, образующих прямой угол.

Учитель: Узлы cетки - точки, в которых пересекаются линии сетки.

Внутренние узлы многоугольника - синие. Узлы на границах многоугольника - коричневые.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги.

Учитель: Проведём исследования для треугольника. Сначала посчитаем площадь треугольника по формуле Пика.

В + Г /2 − 1 , где В Г — количество целочиcленных точек на границе многоугольника.

В = 34 , Г = 15 ,

В + Г /2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Ответ: 40, 5

Учитель : Теперь посчитаем площадь треугольника по формулам геометрии. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как cумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Учащиеся выполняют вычисления в тетрадях. Затем проверяют свои результаты с вычислениями на доске.

Учитель: Сравнив результаты исследований, сделайте вывод. Получили, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии. Итак, гипотеза оказалась верной.

Далее учитель предлагает вычислить площадь «своего» произвольного многоугольника по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнить полученные результаты. «Поиграть» с формулой Пика можно на сайте математических этюдов.

В заключение статьи предлагается одна из работ по теме «Вычисление площади произвольного многоугольника с помощью формулы Пика» .

Еще п ример:

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 , где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В = 10 , Г = 6 ,

В + Г /2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ОТВЕТ: 12

Учитель : Предлагаю вашему вниманию еще решить следующие задачи:

Ответ: 12

Ответ: 13

Ответ: 9

Ответ: 11,5

Ответ: 4

Старкова Кристина, ученица 8Б класса

В работе рассмотрена теорема Пика и ее доказательство.

Рассмотрены задачи на нахождение площади многоугольников

Скачать:

Предварительный просмотр:

УПРАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АДМИНИСТРАЦИИ ЧАЙКОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

ПЕРМСКОГО КРАЯ

VI МУНИЦИПАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
УЧАЩИХСЯ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №11»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА

Применение формулы Пика

Учащаяся 8 «Б» класса

МАОУ СОШ №11Чайковский

Руководитель:Батуева Л,Н.,

Учитель математики МАОУ СОШ№11

г. Чайковский

2012 год

I. Введение……………………………………………………. 2

II. Формула Пика

2.1.Решетки.Узлы………………………………………… .4

2.2.Триангуляция многоугольника………………………5

2.3. Доказательство теоремы Пика………………………6

2.4 Исследование площадей многоугольников…………9

2.5. Вывод…………………………………………………..12

III.Геометрические задачи с практическим содержанием…13

IV. Заключение………………………………………………..14

V. Список используемой литературы………………………..16

1. Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Мы определили:

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

1. Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

1. Подобрать необходимую литературу
2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
4. Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

1. Гипотеза :. Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

II. Формула Пика

2.1.Решетки.Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –узлами решетки.

Внутренние узлы многоугольника - красные.

Узлы на гранях многоугольника - синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

2.2.Триангуляция многоугольника

Любой многоугольник с вершинами в узлах сетки может быть триангулирован – разбит на «простые» треугольники.

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К ).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Рис. 1.37

Теорема 2 . а) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n – 2 (это разбиение – триангуляция с вершинами в вершинах n -угольника).

Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный - любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница - связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь).

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

2.3. Доказательство теоремы Пика.

Пусть В - число целочисленных точек внутри многоугольника, Г - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика : S=В+Г2-1

Пример. Для многоугольника на рисунке В=23 (желтые точки), Г=7, (синие точки, не забудем о вершинах!), поэтому квадратных единиц.

Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4 и .

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае,В=(а-1)(b-1) , Г=2a+2b, тогда по формуле Пика,

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая В=а-1)b-1 , 2 Г= Г=2a+2b 2 +с-1 и получаем, что 4)Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной. Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим B=MT=BM+BT+c-2 - число внутренних целочисленных точек нового многоугольника, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 - число граничных точек нового многоугольника. Из этих равенств получаем: BM+BT+c-2 , Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 . Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то S(MT)+S(M)+S(T)=(В(М)+ ГМ2 -1)+В(T)+ ГT2 -1)=(В(М)+ В(T))+( ГМ2+ГT2)-2 =Г(MT)-(c-2)+ B(MT)+2(c-2)+22 -2= Г(MT)+ B(MT)2-1 .Тем самым, формула Пика доказана.

2.4 Исследование площадей многоугольников.

Вывод

1. Сравнив результаты в таблицах и доказав теорему Пика,я пришла к выводу,что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле планиметрии

Итак, моя гипотеза оказалась верной

III.Геометрические задачи с практическим содержанием.

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 9 . Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение.

Рис. 10 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 10 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Рис. 11 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу, научилась работать в программе Notebook. Узнала, что

Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные н задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов.Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды. etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия.7-9 классы.М. Просвещение,2010

Введение
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» учителем были предложены задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в контрольно - измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Оказывается, задачи на клетчатой бумаге являются обширным классом математических задач. Решения таких задач оригинальны, красивы и часто решаются проще и быстрее, чем аналитическим путем. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.
Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Так и была определена тема для исследования.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель исследования
1. Изучение формулы Пика.
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:
1.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2.Проанализировать и систематизировать полученную информацию
3.Создать презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
4.Сделать выводы по результатам работы.
5.Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Методы исследования:
1. Моделирование.
2. Построение.
3. Анализ и классификация информации.
4. Сравнение, обобщение.
5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Гипотеза: Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.

Исследование формулы Пика.
Формула Пика. Решетки. Узлы.
При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.
Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.
Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты (Рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек
Рис. 1. пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки - узлами решетки.
Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки принимаем за единицу).
А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика: S = В + Г/2 - 1, где S - площадь многоугольника, В - число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г - число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.
Но рассмотренный выше вывод формулы был без доказательства, не отвечал на вопрос: Почему? Вместе с учителем мы рассмотрели много литературы по данной проблеме.
В книге В.В.Вавилова, А.В.Устинова «Многоугольники на решетках» нам наконец удалось найти понравившееся нам доказательство формулы через сумму углов.

Доказательство формулы Пика.
Пусть В - число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г - число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
S = В + Г/ 2 - 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 (кв.ед.)

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.
Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 иS=0+4/2-1=1.

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и. Имеем в этом случае, В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика S= (a -1)(b-1) +(2a+2b)/2 -1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, В= ((а-1)(b-1)-c+2 ,)/2 Г=(2a+2b)/2+с-1 и получаем, что S = ((a-1)(b-1)-c+2)/2 + (a+b+c-1)/2 -1 = ab/2- a/2 - b/2 - c/2 + 3/2 +a/2 + b/2 + c/2 - 1/2 - 1 = ab/2. Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (Рис.2). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Кто же такой Георг Александер Пик?
Австрийский математик Георг Александер Пик родился 10 августа 1859 году в Вене. Его отец, будучи руководителем частного института, предпочел до 11 лет обучать мальчика на дому, а потом отдал его сразу в четвертый класс гимназии, которую он окончил в 1875 году.
В 16 лет Георг поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. 16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика - Неванлинны, лемма Шварца-Пика.
Среди всего многообразия достижений австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей многоугольников с вершинами в узлах клетки открытая им в 1899 году. Она стала широко известна только в 1969 году,после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп».В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
После выхода в 1927 году на пенсию Пик вернулся в свой родной город Вену. Однако после аншлюса (присоединение) 12 марта 1938 года Австрии с Германией ему снова пришлось перебраться в Прагу. В сентябре 1938 года фашистская Германия вторглась на территорию Чехословакии. Г.А.Пик был брошен в концентрационный лагерь в Терзинштадте, где и умер две недели спустя.

Применение формулы Пика.
Задачи из КИМов ОГЭ и ЕГЭ.
Данный вид задач входит в один из разделов части В единого государственного экзамена по математике.
Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»! Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых». С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Дано:
Г=10, В=27.
Решение:S=27+10:2-1=31(кв. ед.)
Ответ: 31 кв.ед.

Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.

Задача 3.
Дано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.

Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5(кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.

Задача 5.
Дано:
Г=6, В=16.
Решение:S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.

Задача 6: Найти площадь «ракеты».
Дано:
Г=20, В=25.
Решение:S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.

Задача 7: Найти площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение:S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.

Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».
Дано:
Г=10, В=4.
Решение:S=4+10:2-1=8(кв.ед.)
Ответ: 8 кв.ед.

Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение:S= 11+9:2-1=14,5(кв.ед.)
Ответ: 14,5 кв.ед.

Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.

Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34(кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.

Задача 12.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение:S=32+26:2-1=44(кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.

Задача 13.
Дано:
Г=22, В=30.
Решение:S=30+22:2-1=40 (кв.ед.)
Ответ: 40 кв.ед.

Задача 14.
Дано:
Г=28, В=52.
Решение:S=52+28:2-1=65 (кв.ед.)
Ответ: 65 кв.ед.

Задача 15.
Шахматный король обошел доску 8*8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)
Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 - 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких траекторий короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.
Ответ: 31

Задача 16.
Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами. Найти площадь восьмиугольника и отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.
Так как нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют. Поэтому рассмотрю квадрат, расположенный на целочисленной решетке, размером 12*12; стороны квадрата лежат в узлах клеточек. Тогда, нетрудно заметить, все вершины восьмиугольника являются узлами решетки; более того, отсюда легко заметить, что этот восьмиугольник правильным не является— он равносторонний, но не равноугольный. Из формулы Пика теперь легко следует, что площадь восьмиугольника равна
S=21 + 8/2 - 1 = 24 кв.ед. Площадь квадрата равна 122 =144 кв.ед. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.
Ответ:24 кв.ед., 6.

Задача 17:Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=33, Г=28.
Решение: S=33+28:2-1=46 (кв.ед.)
Ответ. 46 кв.ед.

Задача 18: Вычислить площадь многоугольника.
Дано:
В=117, Г= 68.
Решение:S=117+68:2-1=150 (кв.ед.)
Ответ:150 кв.ед.

Игры на клетчатой бумаге.
1. Окружение
Правила игры:
Поединок ведется на листке бумаги. Размеры и форма поля могут быть разными, минимальный размер поля - 12 х12 клеток.
Ходы делаются поочередно карандашом разного цвета. Сделать ход - значит поставить точку своего цвета в любой свободный узел поля.
Цель игры - окружить (взять в плен) своими точками как можно больше точек соперника.
Точка считается окруженной, если все соседние с ней по вертикали и горизонтали узлы заняты точками соперника. В ходе игры в окружение попадают как отдельные точки, так и целые группы. Окруженные точки обводятся линией, проходящей через все окружившие их точки соперника.
Может возникнуть ситуация, группа точек, пленившая какое-то количество точек противника, сама попадает в окружение. В этом случае «первичные» пленники считаются освобожденными.
Игра заканчивается, когда следующие ходы уже не могут привести к окружению никаких новых точек. Победителем становится тот, кто окружил больше точек.

Точки
Правила игры:
Отметьте на листке несколько точек (не меньше 8). Играют двое, поочередно соединяя любые две точки отрезком. Захватывать какую- либо третью точку нельзя. Каждая точка может быть концом только одного отрезка. Линии не должны пересекаться. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередного хода.

Эксперимент и исследование
Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным (безошибочным и малозатратным по времени).
Обучающимся8-11 классов мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью формул для нахождения площадей. Каждому нужно было решить 5 задачи и засечь время их выполнения.
Затем мы рассказывали им о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить те же задачи, но по формуле Пика (снова засекали время).
Результаты эксперимента представлены в таблице.
Общие результаты эксперимента:
Затраченное время - среднее значение (мин) Количество уч-ся, допустивших ошибки Безошибочных работ

T1 T2 О1 О2 Э1 Э2
8 класс
(20 учеников) 6,8 3,5 13 4 11 16
9 класс
(12 учеников) 6,6 3,7 13 6 5 7
10 - 11 класс
(7 человек) 4,7 2,4 2 0 5 0
Всего
(39 учеников) 6,3 3,4 28 10 21 23

Проведенный эксперимент показал, что:
никто из учеников не знал формулу Пика;
28 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;
10 из 39 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, сократилось в 2 раза, а у 10 - 11 - классников почти 100 %;
количество безошибочных работ увеличилось в 2 раза, а у 10-11 - классников - в 9 раз;
время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 2 раза.
Результаты эксперимента:
Количество участвующих в эксперименте Затраченное время Количество ошибок
ИФ ФП О1 О2
1/8 6 4 2 1
2/8 6 3 0 0
3/8 7 4 0 0
4/8 6 3 0 0
5/8 6 3 0 0
6/8 4 2 0 0
7/8 9 3 2 1
8/8 6 4 1 0
9/8 6 3 0 0
10/8 9 2 0 0
11/8 4 3 1 0
12/8 5 3 2 1
13/8 6 3 0 0
14/8 9 2 0 0
15/8 10 5 1 0
16/8 5 6 2 1
17/8 8 6 1 0
18/8 10 5 0 0
19/8 7 3 1 0
20/8 6 3 0 0
21/9 6 3 1 0
22/9 7 4 2 1
23/9 8 4 2 1
24/9 6 3 0 0
25/9 9 5 2 1
26/9 9 5 3 2
27/9 6 3 0 0
28/9 5 3 0 0
29/9 7 4 2 1
30/9 5 3 0 0
31/9 5 3 0 0
32/9 6 4 1 0
33/10 5 3 0 0
34/10 4 2 0 0
35/10 6 3 1 0
36/10 4 2 0 0
37/10 6 3 1 0
38/11 4 2 0 0
39/11 4 2 0 0
Всего
(39 учеников)

ИФ - решение задач известными способами,
ФП - решение задач по формуле Пика.

Заключение
В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах: малый Мехмат МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, подобрал нестандартные задания. Эти задачи отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике.
Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии.
Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач.
В результате работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности - от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

(Д. Пойя).

Австрийский математик,

родился в еврейской семье.

Мать Йозефа Шляйзингер,

отец Адольф Йозеф Пик.

Пик Георг

10.08.1859 - 13.07.1942

Биографическая справка

Георг Александр Пик

был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 19001901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика Неванлинны, лемма Шварца Пика. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Пик Георг Александров

открыл формулу в 1899 году

S = B + Г /2-1

S – площадь многоугольника ,

Г – количество узлов сетки

В – количество узлов сетки

S =15 – 3 – 3 - 5/2=6,5 S = 6 + 3 /2-1=6,5

S = 20 - 2 - 3 – 1- 3/2 - 5/2 = 10 S = 9 + 4 /2 – 1 = 10

S = 20 – 2 - 1 - 2 - 1 - 1 - 5/2 - 3= 7,5 S = 6 + 5 /2 – 1 = 7,5

Найдите площадь трапеции ABCD,

Г = 10, В = 5,

= В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

Найдите площадь прямоугольника ABCD,

считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 6, В = 8,

S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10

Найдем площадь ромба ABCD,

считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 4, В = 7,

S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен треугольник (трапеция) (см. рисунок).

Найдите его площадь в квадратных сантиметрах:

Площадь фигуры,

вычисленная по формуле Пика,

равна площади фигуры,

вычисленной по формулам геометрии.

В задачах о фигурах на клетчатой бумаге узел - это угол клеточки.