Esiste un'altra rappresentazione del numero razionale 1/2, diversa dalle rappresentazioni della forma 2/4, 3/6, 4/8, ecc. Intendiamo la rappresentazione sotto forma di frazione decimale 0,5. Alcune frazioni hanno rappresentazioni decimali finite, ad es.

mentre le rappresentazioni decimali delle altre frazioni sono infinite:

Questi infiniti decimali può essere ottenuto dalle frazioni razionali corrispondenti dividendo il numeratore per il denominatore. Ad esempio, nel caso della frazione 5/11, dividendo 5.000... per 11 si ottiene 0,454545...

Quali frazioni razionali hanno rappresentazioni decimali finite? Prima di rispondere a questa domanda in generale, vediamo un esempio specifico. Prendiamo, ad esempio, la frazione decimale finale 0,8625. Lo sappiamo

e che qualsiasi frazione decimale finita può essere scritta come frazione decimale razionale con un denominatore pari a 10, 100, 1000 o qualche altra potenza di 10.

Riducendo la frazione a destra a una frazione irriducibile, otteniamo

Il denominatore di 80 si ottiene dividendo 10.000 per 125, il massimo comun divisore di 10.000 e 8625. Pertanto, la scomposizione in fattori primi del numero 80, come il numero 10.000, include solo due fattori primi: 2 e 5. Se non lo facessimo iniziare con 0, 8625, e con qualsiasi altra frazione decimale finita, allora anche la frazione razionale irriducibile risultante avrebbe questa proprietà. In altre parole, l'espansione del denominatore b in fattori primi potrebbe includere solo i numeri primi 2 e 5, poiché b è un divisore di una qualche potenza di 10, a . Questa circostanza risulta decisiva, vale a dire che vale la seguente affermazione generale:

Una frazione razionale irriducibile ha una rappresentazione decimale finita se e solo se il numero b non ha fattori primi di 2 e 5.

Nota che b non deve necessariamente avere entrambi i numeri 2 e 5 tra i suoi fattori primi: può essere divisibile solo per uno di essi o non essere affatto divisibile per essi. Per esempio,

qui b è uguale rispettivamente a 25, 16 e 1. Ciò che è significativo è che b non ha altri divisori oltre a 2 e 5.

La frase precedente contiene l'espressione se e solo se. Finora abbiamo dimostrato solo la parte che riguarda il fatturato solo poi. Siamo stati noi a dimostrare che la scomposizione di un numero razionale in una frazione decimale sarà finita solo nel caso in cui b non abbia fattori primi diversi da 2 e 5.

(In altre parole, se b è divisibile per un numero primo diverso da 2 e 5, allora la frazione irriducibile non ha espressione decimale finita.)

La parte then della frase afferma che se l'intero b non ha fattori primi diversi da 2 e 5, allora la frazione razionale irriducibile può essere rappresentata da una frazione decimale finita. Per dimostrarlo dobbiamo prendere un irriducibile arbitrario frazione razionale, per il quale b non ha fattori primi diversi da 2 e 5, e assicurarsi che la frazione decimale corrispondente sia finita. Diamo prima un'occhiata a un esempio. Permettere

Per ottenere l'espansione decimale, trasformiamo questa frazione in una frazione il cui denominatore è una potenza intera di dieci. Ciò può essere ottenuto moltiplicando numeratore e denominatore per:

Il ragionamento sopra esposto può essere esteso al caso generale nel modo seguente. Supponiamo che b sia nella forma , dove il tipo è costituito da numeri interi non negativi (ovvero numeri positivi o zero). Sono possibili due casi: o minore o uguale (questa condizione si scrive), oppure maggiore (che si scrive). Quando moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione per

Ricordi come nella primissima lezione sui decimali ho detto che ci sono frazioni numeriche che non possono essere rappresentate come decimali (vedi lezione “Decimali”)? Abbiamo anche imparato a fattorizzare i denominatori delle frazioni per vedere se ci sono numeri diversi da 2 e 5.

Quindi: ho mentito. E oggi impareremo come convertire assolutamente qualsiasi frazione numerica in un decimale. Allo stesso tempo, conosceremo un'intera classe di frazioni con una parte significativa infinita.

Un decimale periodico è qualsiasi decimale che:

1. La parte significativa è composta da un numero infinito di cifre;
2. A determinati intervalli si ripetono i numeri nella parte significativa.

L'insieme di cifre ripetute che costituiscono la parte significativa è chiamato parte periodica di una frazione, e il numero di cifre in questo insieme è chiamato periodo della frazione. Il restante segmento della parte significativa, che non si ripete, si chiama parte non periodica.

Poiché esistono molte definizioni, vale la pena considerare alcune di queste frazioni in dettaglio:

Questa frazione appare più spesso nei problemi. Parte non periodica: 0; parte periodica: 3; durata del periodo: 1.

Parte non periodica: 0,58; parte periodica: 3; durata del periodo: ancora 1.

Parte non periodica: 1; parte periodica: 54; durata del periodo: 2.

Parte non periodica: 0; parte periodica: 641025; durata del periodo: 6. Per comodità, le parti ripetute sono separate l'una dall'altra da uno spazio: ciò non è necessario in questa soluzione.

Parte non periodica: 3066; parte periodica: 6; durata del periodo: 1.

Come puoi vedere, la definizione di frazione periodica si basa sul concetto parte significativa di un numero. Pertanto, se hai dimenticato di cosa si tratta, ti consiglio di ripeterlo - vedi la lezione “”.

Transizione alla frazione decimale periodica

Consideriamo una frazione ordinaria della forma a/b. Fattorizziamo il suo denominatore in fattori primi. Ci sono due opzioni:

1. L'espansione contiene solo i fattori 2 e 5. Queste frazioni possono essere facilmente convertite in decimali - vedere la lezione “Decimali”. Non siamo interessati a queste persone;
2. C'è qualcos'altro nell'espansione oltre a 2 e 5. In questo caso la frazione non può essere rappresentata come decimale, ma può essere convertita in un decimale periodico.

Per definire una frazione decimale periodica, è necessario trovare le sue parti periodiche e non periodiche. Come? Converti la frazione in una frazione impropria, quindi dividi il numeratore per il denominatore utilizzando un angolo.

Accadrà quanto segue:

1. Si dividerà per primo intera parte , se esiste;
2. Potrebbero esserci più numeri dopo la virgola decimale;
3. Dopo un po' inizieranno i numeri ripetere.

È tutto! I numeri che si ripetono dopo la virgola decimale sono indicati dalla parte periodica, mentre quelli che precedono sono indicati dalla parte non periodica.

Compito. Convertire le frazioni ordinarie in decimali periodici:

Tutte le frazioni senza parte intera, quindi dividiamo semplicemente il numeratore per il denominatore con un “angolo”:

Come puoi vedere, i resti si ripetono. Scriviamo la frazione nella forma “corretta”: 1.733 ... = 1.7(3).

Il risultato è una frazione: 0,5833 ... = 0,58(3).

Lo scriviamo in forma normale: 4.0909 ... = 4,(09).

Otteniamo la frazione: 0,4141 ... = 0.(41).

Transizione dalla frazione decimale periodica alla frazione ordinaria

Considera la frazione decimale periodica X = abc (a 1 b 1 c 1). È necessario convertirlo in un classico “a due piani”. Per fare ciò, segui quattro semplici passaggi:

1. Trova il periodo della frazione, ad es. conta quante cifre ci sono nella parte periodica. Sia questo il numero k;
2. Trova il valore dell'espressione X · 10 k. Ciò equivale a spostare la virgola decimale a destra di un punto intero - vedere la lezione "Moltiplicazione e divisione dei decimali";
3. L'espressione originale deve essere sottratta dal numero risultante. In questo caso la parte periodica viene “bruciata” e rimane frazione comune;
4. Trova X nell'equazione risultante. Convertiamo tutte le frazioni decimali in frazioni ordinarie.

Compito. Ridurre all'ordinario frazione impropria numeri:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Lavoriamo con la prima frazione: X = 9,(6) = 9.666 ...

Le parentesi contengono solo una cifra, quindi il periodo è k = 1. Successivamente moltiplichiamo questa frazione per 10 k = 10 1 = 10. Abbiamo:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Sottrai la frazione originale e risolvi l'equazione:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Consideriamo ora la seconda frazione. Quindi X = 32,(39) = 32,393939...

Periodo k = 2, quindi moltiplica tutto per 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Sottrai nuovamente la frazione originale e risolvi l'equazione:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Passiamo alla terza frazione: X = 0,30(5) = 0,30555... Il diagramma è lo stesso, quindi mi limiterò a fare i calcoli:

Periodo k = 1 ⇒ moltiplica tutto per 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Infine, l'ultima frazione: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Ancora una volta, per comodità, le parti periodiche sono separate l'una dall'altra da spazi. Abbiamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Il fatto che molti radici quadrate Sono numeri irrazionali, non toglie nulla al loro significato, in particolare il numero $\sqrt2$ viene utilizzato molto spesso in vari calcoli ingegneristici e scientifici; Questo numero può essere calcolato con la precisione richiesta in ciascun caso specifico. Puoi ottenere questo numero con tutte le cifre decimali di cui hai la pazienza.

Ad esempio, il numero $\sqrt2$ può essere determinato con una precisione di sei cifre decimali: $\sqrt2=1.414214$. Questo valore non è molto diverso da vero significato, poiché $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$. Questa risposta differisce da 2 di poco più di un milionesimo. Pertanto, il valore di $\sqrt2$ pari a $1.414214$ è considerato abbastanza accettabile per risolvere la maggior parte dei problemi pratici. Nei casi in cui è richiesta una maggiore precisione, non è difficile ottenere tante cifre significative dopo la virgola quante necessarie in questo caso.

Tuttavia, se mostri rara testardaggine e provi a estrarre Radice quadrata dal numero $\sqrt2$ finché non raggiungi il risultato esatto, non finirai mai il tuo lavoro. È un processo senza fine. Non importa quante cifre decimali ottieni, ne rimarranno sempre alcune in più.

Questo fatto potrebbe sorprenderti tanto quanto trasformare $\frac13$ in un decimale infinito $0,333333333…$ e così via indefinitamente, o trasformare $\frac17$ in $0,142857142857142857…$ e così via indefinitamente. A prima vista può sembrare che queste radici quadrate infinite e irrazionali siano fenomeni dello stesso ordine, ma non è affatto così. Dopotutto, queste frazioni infinite hanno un equivalente frazionario, mentre $\sqrt2$ non ha tale equivalente. Perché esattamente? Il fatto è che l'equivalente decimale di $\frac13$ e $\frac17$, così come un numero infinito di altre frazioni, sono frazioni periodiche infinite.

Allo stesso tempo, l'equivalente decimale di $\sqrt2$ è una frazione non periodica. Questa affermazione è vera anche per qualsiasi numero irrazionale.

Il problema è che qualsiasi decimale che sia un'approssimazione della radice quadrata di 2 lo è frazione non periodica. Non importa quanto lontano andiamo nei nostri calcoli, qualsiasi frazione che otteniamo sarà non periodica.

Immagina una frazione con Una quantità enorme cifre decimali non periodiche. Se improvvisamente dopo la milionesima cifra si ripete l'intera sequenza di cifre decimali, significa decimale- periodico e ne esiste un equivalente sotto forma di un rapporto di numeri interi. Se una frazione con un numero enorme (miliardi o milioni) di cifre decimali non periodiche ad un certo punto ha una serie infinita di cifre ripetute, ad esempio $...55555555555...$, ciò significa anche che questa frazione è periodica e esiste un equivalente sotto forma di rapporto di numeri interi.

Tuttavia, nel caso, i loro equivalenti decimali sono completamente non periodici e non possono diventare periodici.

Naturalmente puoi chiedere prossima domanda: “Chi può sapere e dire con certezza cosa succede ad una frazione, diciamo, dopo il segno del trilione? Chi può garantire che una frazione non diventi periodica?” Esistono modi per dimostrare in modo definitivo che i numeri irrazionali non sono periodici, ma tali dimostrazioni richiedono una matematica complessa. Ma se all'improvviso si scoprisse che il numero irrazionale diventa frazione periodica, ciò significherebbe un completo collasso dei fondamenti delle scienze matematiche. E in effetti questo è difficilmente possibile. Non è facile per te lanciarlo sulle nocche da un lato all'altro, c'è una complessa teoria matematica qui.

Questo articolo riguarda decimali. Qui comprenderemo la notazione decimale dei numeri frazionari, introdurremo il concetto di frazione decimale e forniremo esempi di frazioni decimali. Successivamente parleremo delle cifre delle frazioni decimali e forniremo i nomi delle cifre. Successivamente ci concentreremo sulle frazioni decimali infinite, parliamo di frazioni periodiche e non periodiche. Successivamente elenchiamo le operazioni di base con le frazioni decimali. In conclusione, stabiliamo la posizione delle frazioni decimali sul raggio delle coordinate.

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Notazione decimale di un numero frazionario

Lettura dei decimali

Diciamo alcune parole sulle regole per leggere le frazioni decimali.

Le frazioni decimali, che corrispondono alle frazioni ordinarie vere e proprie, si leggono allo stesso modo di queste frazioni ordinarie, solo prima viene aggiunto "zero intero". Ad esempio, la frazione decimale 0,12 corrisponde alla frazione comune 12/100 (leggi “dodici centesimi”), quindi 0,12 si legge come “zero virgola dodici centesimi”.

Le frazioni decimali che corrispondono ai numeri misti vengono lette esattamente come questi numeri misti. Ad esempio, corrisponde la frazione decimale 56.002 numero misto, pertanto, la frazione decimale 56.002 si legge “cinquantasei virgola duemillesimi”.

Posti in decimali

Nella scrittura delle frazioni decimali, così come nella scrittura numeri naturali, il significato di ciascuna cifra dipende dalla sua posizione. Infatti, il numero 3 nella frazione decimale 0,3 significa tre decimi, nella frazione decimale 0,0003 - tre decimillesimi e nella frazione decimale 30.000,152 - tre decine di migliaia. Quindi possiamo parlarne decimali, nonché sulle cifre dei numeri naturali.

I nomi delle cifre nella frazione decimale fino alla virgola decimale coincidono completamente con i nomi delle cifre nei numeri naturali. E i nomi delle cifre decimali dopo la virgola possono essere visti dalla tabella seguente.

Ad esempio, nella frazione decimale 37.051, la cifra 3 è nella posizione delle decine, 7 è nella posizione delle unità, 0 è nella posizione dei decimi, 5 è nella posizione dei centesimi e 1 è nella posizione dei millesimi.

Anche le posizioni nelle frazioni decimali differiscono nella precedenza. Se scrivendo una frazione decimale ci spostiamo da una cifra all'altra da sinistra a destra, allora ci sposteremo da gli anziani A ranghi junior. Ad esempio, la posizione delle centinaia è più antica della posizione dei decimi, mentre la posizione dei milioni è inferiore alla posizione dei centesimi. In una data frazione decimale finale si può parlare di cifre maggiori e minori. Ad esempio, nella frazione decimale 604.9387 anziano (il più alto) il posto è il posto delle centinaia, e junior (il più basso)- cifra dei diecimillesimi.

Per le frazioni decimali avviene l'espansione in cifre. È simile all'espansione per cifre dei numeri naturali. Ad esempio, l'espansione in cifre decimali di 45.6072 è la seguente: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. E le proprietà dell'addizione dalla scomposizione di una frazione decimale in cifre consentono di passare ad altre rappresentazioni di questa frazione decimale, ad esempio 45.6072=45+0.6072, o 45.6072=40.6+5.007+0.0002, o 45.6072= 45.0072+ 0,6.

Fine dei decimali

Finora abbiamo parlato solo di frazioni decimali, nella cui notazione c'è un numero finito di cifre dopo la virgola. Tali frazioni sono chiamate decimali finiti.

Definizione.

Fine dei decimali- Queste sono frazioni decimali, i cui record contengono un numero finito di caratteri (cifre).

Ecco alcuni esempi di frazioni decimali finali: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Tuttavia, non tutte le frazioni possono essere rappresentate come decimali finali. Ad esempio, la frazione 5/13 non può essere sostituita da una frazione uguale con uno dei denominatori 10, 100, ..., quindi non può essere convertita in una frazione decimale finale. Ne parleremo più approfonditamente nella sezione teorica, convertendo le frazioni ordinarie in decimali.

Decimali infiniti: frazioni periodiche e frazioni non periodiche

Scrivendo una frazione decimale dopo la virgola, si può presumere la possibilità di un numero infinito di cifre. In questo caso arriveremo a considerare le cosiddette frazioni decimali infinite.

Definizione.

Decimali infiniti- Queste sono frazioni decimali, che contengono un numero infinito di cifre.

È chiaro che non possiamo scrivere infinite frazioni decimali in forma completa, quindi nella loro registrazione ci limitiamo solo a un certo numero finito di cifre dopo il punto decimale e inseriamo dei puntini di sospensione che indicano una sequenza di cifre infinitamente continua. Ecco alcuni esempi di frazioni decimali infinite: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Se osservate attentamente le ultime due infinite frazioni decimali, nella frazione 2.111111111... è chiaramente visibile il numero 1 che si ripete all'infinito, e nella frazione 69.74152152152..., a partire dalla terza cifra decimale, un gruppo di numeri ripetitivo 1, 5 e 2 è chiaramente visibile. Tali frazioni decimali infinite sono chiamate periodiche.

Definizione.

Decimali periodici(o semplicemente frazioni periodiche ) sono frazioni decimali infinite, nella cui registrazione, a partire da una certa cifra decimale, un numero o un gruppo di numeri viene ripetuto all'infinito, chiamato periodo della frazione.

Ad esempio, il periodo della frazione periodica 2.111111111... è la cifra 1, e il periodo della frazione 69.74152152152... è un gruppo di cifre della forma 152.

Per le frazioni decimali periodiche infinite viene adottata una forma speciale di notazione. Per brevità, abbiamo concordato di scrivere il punto una volta, racchiudendolo tra parentesi. Ad esempio, la frazione periodica 2.111111111... è scritta come 2,(1) e la frazione periodica 69.74152152152... è scritta come 69.74(152) .

Vale la pena notare che per la stessa frazione decimale periodica è possibile specificare periodi diversi. Ad esempio, la frazione decimale periodica 0,73333... può essere considerata come una frazione 0,7(3) con un periodo pari a 3, e anche come una frazione 0,7(33) con un periodo pari a 33, e così via 0,7(333), 0.7 (3333), ... Puoi anche guardare la frazione periodica 0.73333 ... così: 0.733(3), o così 0.73(333), ecc. Qui, per evitare ambiguità e discrepanze, conveniamo di considerare come periodo di una frazione decimale la più breve di tutte le sequenze possibili di cifre ripetute, e partendo dalla posizione più vicina alla virgola decimale. Cioè, il periodo della frazione decimale 0,73333... sarà considerato una sequenza di una cifra 3, e la periodicità inizia dalla seconda posizione dopo la virgola, cioè 0,73333...=0,7(3). Altro esempio: la frazione periodica 4.7412121212... ha periodo 12, la periodicità inizia dalla terza cifra dopo la virgola, cioè 4.7412121212...=4.74(12).

Le frazioni periodiche decimali infinite si ottengono convertendo in frazioni decimali le frazioni ordinarie i cui denominatori contengono fattori primi diversi da 2 e 5.

Qui vale la pena menzionare le frazioni periodiche con un periodo di 9. Diamo esempi di tali frazioni: 6.43(9) , 27,(9) . Queste frazioni sono un'altra notazione per le frazioni periodiche con periodo 0 e solitamente vengono sostituite da frazioni periodiche con periodo 0. Per fare ciò, il periodo 9 viene sostituito dal periodo 0 e il valore della cifra successiva più alta viene aumentato di uno. Ad esempio, una frazione con periodo 9 della forma 7.24(9) viene sostituita da una frazione periodica con periodo 0 della forma 7.25(0) o da una frazione decimale finale uguale 7.25. Un altro esempio: 4,(9)=5,(0)=5. L'uguaglianza di una frazione con periodo 9 e della sua corrispondente frazione con periodo 0 si stabilisce facilmente dopo aver sostituito queste frazioni decimali con frazioni ordinarie uguali.

Infine, diamo uno sguardo più da vicino alle infinite frazioni decimali, che non contengono una sequenza di cifre che si ripete all'infinito. Si chiamano non periodici.

Definizione.

Decimali non ricorrenti(o semplicemente frazioni non periodiche) sono frazioni decimali infinite che non hanno punto.

A volte le frazioni non periodiche hanno una forma simile a quella delle frazioni periodiche, ad esempio 8.02002000200002... è una frazione non periodica. In questi casi, dovresti prestare particolare attenzione a notare la differenza.

Nota che le frazioni non periodiche non si convertono in frazioni ordinarie; le frazioni decimali non periodiche infinite rappresentano numeri irrazionali.

Operazioni con i decimali

Una delle operazioni con le frazioni decimali è il confronto e vengono anche definite le quattro funzioni aritmetiche di base operazioni con decimali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Consideriamo separatamente ciascuna delle azioni con frazioni decimali.

Confronto di decimali basato essenzialmente sul confronto delle frazioni ordinarie corrispondenti alle frazioni decimali confrontate. Tuttavia, convertire le frazioni decimali in frazioni ordinarie è un'operazione piuttosto laboriosa e le frazioni infinite non periodiche non possono essere rappresentate nella forma frazione comune, quindi è conveniente utilizzare il confronto luogo per luogo delle frazioni decimali. Il confronto spaziale delle frazioni decimali è simile al confronto dei numeri naturali. Per informazioni più dettagliate, consigliamo di studiare l'articolo: confronto tra frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Passiamo al passaggio successivo: moltiplicando i decimali. La moltiplicazione delle frazioni decimali finite viene eseguita in modo simile alla sottrazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni alla moltiplicazione per una colonna di numeri naturali. Nel caso delle frazioni periodiche, la moltiplicazione può essere ridotta alla moltiplicazione delle frazioni ordinarie. A sua volta, la moltiplicazione di infinite frazioni decimali non periodiche dopo il loro arrotondamento si riduce alla moltiplicazione di frazioni decimali finite. Raccomandiamo per ulteriori studi il materiale nell'articolo: moltiplicazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Decimali su un raggio coordinato

Esiste una corrispondenza biunivoca tra punti e decimali.

Scopriamo come vengono costruiti i punti sul raggio delle coordinate che corrispondono a una determinata frazione decimale.

Possiamo sostituire le frazioni decimali finite e le frazioni decimali periodiche infinite con frazioni ordinarie uguali, e quindi costruire le frazioni ordinarie corrispondenti sul raggio delle coordinate. Ad esempio la frazione decimale 1.4 corrisponde alla frazione comune 14/10, quindi il punto di coordinata 1.4 è allontanato dall'origine in senso positivo di 14 segmenti pari ad un decimo di segmento unitario.

Le frazioni decimali possono essere marcate su un raggio di coordinate, a partire dalla scomposizione di una data frazione decimale in cifre. Ad esempio, dobbiamo costruire un punto con coordinata 16.3007, poiché 16.3007=16+0.3+0.0007, quindi possiamo arrivare a questo punto ponendo in sequenza 16 segmenti unitari dall'origine delle coordinate, 3 segmenti la cui lunghezza è pari ad un decimo di unità e 7 segmenti la cui lunghezza è pari a un decimillesimo di unità di segmento.

Questo modo di costruire numeri decimali sul raggio delle coordinate ti permette di avvicinarti quanto vuoi al punto corrispondente alla frazione decimale infinita.

A volte è possibile tracciare con precisione il punto corrispondente ad una frazione decimale infinita. Per esempio, , allora questa frazione decimale infinita 1.41421... corrisponde a un punto sul raggio delle coordinate, distante dall'origine delle coordinate della lunghezza della diagonale di un quadrato avente il lato di 1 segmento unitario.

Il processo inverso per ottenere la frazione decimale corrispondente a un dato punto su un raggio di coordinate è il cosiddetto misurazione decimale di un segmento. Scopriamo come è fatto.

Lasciamo che il nostro compito sia quello di arrivare dall'origine a un dato punto sulla linea delle coordinate (o di avvicinarci all'infinito se non riusciamo a raggiungerlo). Con la misura decimale di un segmento possiamo separare in sequenza dall'origine un numero qualsiasi di segmenti unitari, poi segmenti la cui lunghezza è pari a un decimo di unità, quindi segmenti la cui lunghezza è pari a un centesimo di unità, ecc. Registrando il numero di segmenti di ciascuna lunghezza messi da parte, si ottiene la frazione decimale corrispondente ad un dato punto del raggio coordinato.

Ad esempio, per arrivare al punto M nella figura sopra, è necessario mettere da parte 1 segmento unitario e 4 segmenti, la cui lunghezza è pari a un decimo di unità. Pertanto, il punto M corrisponde alla frazione decimale 1.4.

È chiaro che i punti del raggio delle coordinate, che non possono essere raggiunti nel processo di misurazione decimale, corrispondono a infinite frazioni decimali.

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Come è noto, l'insieme dei numeri razionali (Q) comprende l'insieme degli interi (Z), che a sua volta comprende l'insieme dei numeri naturali (N). I numeri razionali comprendono, oltre ai numeri interi, anche le frazioni.

Perché allora l'intero insieme dei numeri razionali viene talvolta considerato come frazioni decimali periodiche infinite? Infatti, oltre alle frazioni, includono anche numeri interi e frazioni non periodiche.

Il fatto è che tutti i numeri interi, così come qualsiasi frazione, possono essere rappresentati come una frazione decimale periodica infinita. Cioè, per tutti i numeri razionali puoi utilizzare lo stesso metodo di registrazione.

Come si rappresenta un decimale periodico infinito? In esso, un gruppo ripetuto di numeri dopo la virgola è posto tra parentesi. Ad esempio, 1,56(12) è una frazione in cui si ripete il gruppo di cifre 12, cioè la frazione ha il valore 1,561212121212... e così via all'infinito. Un gruppo ripetuto di numeri è chiamato punto.

Tuttavia, possiamo rappresentare qualsiasi numero in questa forma se consideriamo il suo periodo come il numero 0, che si ripete all'infinito. Ad esempio, il numero 2 è uguale a 2.00000.... Pertanto, può essere scritto come una frazione periodica infinita, cioè 2,(0).

Lo stesso può essere fatto con qualsiasi frazione finita. Per esempio:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Tuttavia, in pratica non utilizzano la trasformazione di una frazione finita in una frazione infinita periodica. Pertanto, separano le frazioni finite e quelle periodiche infinite. Pertanto è più corretto dire che i numeri razionali includono

• tutti numeri interi
• frazioni finali,
• frazioni periodiche infinite.

Allo stesso tempo, ricordiamo semplicemente che gli interi e le frazioni finite sono rappresentabili in teoria sotto forma di frazioni periodiche infinite.

D'altra parte, i concetti di frazioni finite e infinite sono applicabili alle frazioni decimali. Quando si tratta di frazioni, sia i decimali finiti che quelli infiniti possono essere rappresentati in modo univoco come una frazione. Ciò significa che dal punto di vista delle frazioni ordinarie, le frazioni periodiche e finite sono la stessa cosa. Inoltre, i numeri interi possono anche essere rappresentati come frazioni immaginando di dividere il numero per 1.

Come rappresentare una frazione periodica infinita decimale come frazione ordinaria? L'algoritmo più comunemente usato è qualcosa del genere:

1. Riduci la frazione in modo che dopo la virgola ci sia solo un punto.
2. Moltiplica una frazione periodica infinita per 10 o 100 o ... in modo che la virgola decimale si sposti verso destra di un punto (cioè un punto finisce nell'intera parte).
3. Uguagliare la frazione originale (a) alla variabile x e la frazione (b) ottenuta moltiplicando per il numero N a Nx.
4. Sottrai x da Nx. Da b sottraggo a. Cioè compongono l'equazione Nx – x = b – a.
5. Quando si risolve un'equazione, il risultato è una frazione ordinaria.

Un esempio di conversione di una frazione decimale periodica infinita in una frazione ordinaria:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =