- Tavola delle derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche
Derivate di funzioni semplici
1. La derivata di un numero è zeroс´ = 0
Esempio:
5´ = 0
Spiegazione:
La derivata mostra la velocità con cui cambia il valore di una funzione quando cambia il suo argomento. Poiché il numero non cambia in alcuna condizione, il tasso della sua variazione è sempre pari a zero.
2. Derivata di una variabile uguale a uno
x´ = 1
Spiegazione:
Ad ogni incremento dell'argomento (x) di uno, il valore della funzione (il risultato del calcolo) aumenta della stessa quantità. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione y = x è esattamente uguale alla velocità di variazione del valore dell'argomento.
3. La derivata di una variabile e di un fattore è uguale a questo fattore
сx´ = с
Esempio:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Spiegazione:
In questo caso, ogni volta che cambia l'argomento della funzione ( X) il suo valore (y) aumenta di Con una volta. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione rispetto alla velocità di variazione dell'argomento è esattamente uguale al valore Con.
Da ciò consegue ciò
(cx + b)" = c
cioè il differenziale della funzione lineare y=kx+b è uguale a pendenza pendenza della retta (k).
4. Derivata modulo di una variabile uguale al quoziente di questa variabile al suo modulo
|x|"=x/|x| a condizione che x ≠ 0
Spiegazione:
Poiché la derivata di una variabile (vedi formula 2) è uguale a uno, la derivata del modulo differisce solo per il fatto che il valore del tasso di variazione della funzione cambia al contrario quando attraversa il punto di origine (prova a disegnare un grafico della funzione y = |x| e verifica tu stesso questo è esattamente il valore e restituisce l'espressione x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Cioè, quando valori negativi variabile x, ad ogni aumento dell'argomento, il valore della funzione diminuisce esattamente dello stesso valore, e per quelli positivi, al contrario, aumenta, ma esattamente dello stesso valore.
5. Derivata di una variabile rispetto a una potenza pari al prodotto di un numero di questa potenza e di una variabile alla potenza ridotta di uno
(x c)"= cx c-1, a condizione che siano definiti x c e cx c-1 e c ≠ 0
Esempio:
(x2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Per ricordare la formula:
Sposta il grado della variabile verso il basso come fattore, quindi riduci il grado stesso di uno. Ad esempio, per x 2 - due erano davanti a x, e quindi la potenza ridotta (2-1 = 1) ci dava semplicemente 2x. La stessa cosa è successa per x 3: "spostamo verso il basso" la tripla, la riduciamo di uno e invece del cubo abbiamo un quadrato, cioè 3x 2. Un po' "non scientifico" ma molto facile da ricordare.
6.Derivata di una frazione 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esempio:
Poiché una frazione può essere rappresentata come elevante a una potenza negativa
(1/x)" = (x -1)", allora puoi applicare la formula della regola 5 della tabella delle derivate
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivata di una frazione con una variabile di grado arbitrario al denominatore
(1/xc)" = -c/xc+1
Esempio:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Derivato della radice(derivata della variabile sotto radice quadrata)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Esempio:
(√x)" = (x 1/2)" significa che puoi applicare la formula della regola 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Derivata di una variabile sotto la radice di grado arbitrario
(n√x)" = 1 / (n n√x n-1)
L'operazione per trovare la derivata si chiama differenziazione.
Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra l'incremento e l'incremento dell'argomento, è apparsa una tabella delle derivate ed esattamente certe regole differenziazione. I primi a lavorare nel campo della ricerca dei derivati furono Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Pertanto, ai nostri giorni, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il limite sopra menzionato del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella di Derivati e regole di differenziazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.
Per trovare la derivata, hai bisogno di un'espressione sotto il segno primo scomporre le funzioni semplici in componenti e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Successivamente, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.
Esempio 1. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate di funzioni, cioè
Dalla tabella delle derivate scopriamo che la derivata di “X” è uguale a uno e la derivata del seno è uguale a coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:
Esempio 2. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Differenziamo come derivata di una somma in cui il secondo termine ha un fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:
Se sorgono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di solito vengono chiarite dopo aver familiarizzato con la tabella dei derivati e le regole di differenziazione più semplici. Stiamo passando a loro proprio ora.
Tavola delle derivate di funzioni semplici
| 1. Derivato di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre uguale a zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso | |
| 2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "X". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare a lungo | |
| 3. Derivato di grado. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in potenze. | |
| 4. Derivata di una variabile alla potenza -1 | |
| 5. Derivato radice quadrata | |
| 6. Derivato del seno | |
| 7. Derivato del coseno |  |
| 8. Derivato della tangente |  |
| 9. Derivato della cotangente |  |
| 10. Derivato dell'arcoseno |  |
| 11. Derivato dell'arcoseno |  |
| 12. Derivato dell'arcotangente |  |
| 13. Derivato dell'arco cotangente |  |
| 14. Derivato del logaritmo naturale | |
| 15. Derivato di una funzione logaritmica |  |
| 16. Derivata dell'esponente | |
| 17. Derivato di una funzione esponenziale |
Regole di differenziazione
| 1. Derivato di una somma o differenza |  |
| 2. Derivato del prodotto |  |
| 2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante | |
| 3. Derivata del quoziente |  |
| 4. Derivato di una funzione complessa |  |
Regola 1.Se le funzioni
sono differenziabili in un certo punto, allora le funzioni sono differenziabili nello stesso punto
E
quelli. la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale a somma algebrica derivati di queste funzioni.
Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono di un termine costante, allora le loro derivate sono uguali, cioè.
Regola 2.Se le funzioni
sono differenziabili in un certo punto, allora il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto
E
quelli. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.
Corollario 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:
Corollario 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascun fattore e di tutti gli altri.
Ad esempio, per tre moltiplicatori:
Regola 3.Se le funzioni
differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabileu/v e
quelli. la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato di il vecchio numeratore.
Dove cercare cose su altre pagine
Quando si trova la derivata di un prodotto e un quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare diverse regole di differenziazione contemporaneamente, quindi ci sono più esempi su queste derivate nell'articolo"Derivata del prodotto e quoziente di funzioni".
Commento. Non dovresti confondere una costante (cioè un numero) con il termine di una somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine la sua derivata è uguale a zero, nel caso di un fattore costante viene tolta dal segno delle derivate. Questo errore tipico, che si verifica il stato iniziale studiando le derivate, ma man mano che risolvono diversi esempi in una o due parti, lo studente medio non commette più questo errore.
E se, quando si differenzia un prodotto o un quoziente, si dispone di un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (questo caso è discusso nell'esempio 10).
Altro errore comune- soluzione meccanica della derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessaè dedicato un articolo separato. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.
Lungo il percorso, non puoi fare a meno di trasformare le espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire il manuale in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Operazioni con le frazioni .
Se stai cercando soluzioni per le derivate di frazioni con potenze e radici, ovvero quando appare la funzione 
, poi segui la lezione “Derivata di somme di frazioni con potenze e radici”.
Se hai un compito come 
, poi seguirai la lezione “Derivate di semplici funzioni trigonometriche”.
Esempi passo passo: come trovare la derivata
Esempio 3. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Definiamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta un prodotto, e i suoi fattori sono somme, nella seconda delle quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola della differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni per la derivata dell'altra:
Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso in ogni somma il secondo termine ha il segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "X" diventa uno e meno 5 diventa zero. Nella seconda espressione, "x" viene moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori derivati:
Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:
Esempio 4. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare il quoziente: la derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:
Abbiamo già trovato la derivata dei fattori del numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che nell'esempio attuale è il secondo fattore del numeratore, si prende con il segno meno:
Se cerchi soluzioni a problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove è presente una pila continua di radici e potenze, come, ad esempio, 
, allora benvenuto in classe "Derivata di somme di frazioni con potenze e radici" .
Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seni, coseni, tangenti e altri funzioni trigonometriche, cioè quando appare la funzione , allora una lezione per te "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .
Esempio 5. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, la cui derivata ci è familiare nella tabella delle derivate. Utilizzando la regola per differenziare il prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Esempio 6. Trova la derivata di una funzione
Soluzione. In questa funzione vediamo un quoziente il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Utilizzando la regola della differenziazione dei quozienti, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulato della derivata della radice quadrata, otteniamo:
Per eliminare una frazione dal numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .
Definizione di funzione esponenziale potenza. Derivare una formula per calcolare la sua derivata. Vengono analizzati in dettaglio esempi di calcolo delle derivate di funzioni esponenziali di potenza.
Funzione esponenziale di potenza
è una funzione che assomiglia funzione di potenza
y = u v ,
in cui la base u e l'esponente v sono alcune funzioni della variabile x:
u = u (X); v = v (X).
Questa funzione è anche chiamata esponenziale O .
Si noti che il potere funzione esponenziale possono essere rappresentati in forma dimostrativa:
.
Per questo è anche chiamato funzione esponenziale complessa.
Calcolo mediante derivata logaritmica
Troviamo la derivata della funzione esponenziale potenza
(2)
,
dove e sono funzioni della variabile.
Per fare ciò, usiamo l'equazione del logaritmo (2), utilizzando la proprietà del logaritmo:
.
Differenziare rispetto alla variabile x:
(3)
.
Ci applichiamo regole per differenziare funzioni complesse e funziona:
;
.
Sostituiamo nella (3):
.
Da qui
.
Quindi, abbiamo trovato la derivata della funzione esponenziale potenza:
(1)
.
Se l'esponente è costante, allora . Allora la derivata è uguale alla derivata di una funzione potenza complessa:
.
Se la base del grado è costante, allora . Allora la derivata è uguale alla derivata di una funzione esponenziale complessa:
.
Quando e sono funzioni di x, allora la derivata della funzione esponenziale potenza è uguale alla somma delle derivate delle funzioni potenza ed esponenziale complesse.
Calcolo della derivata per riduzione ad una funzione esponenziale complessa
Ora troviamo la derivata della funzione esponenziale potenza
(2)
,
presentandola come una funzione esponenziale complessa:
(4)
.
Differenziamo il prodotto:
.
Applichiamo la regola per trovare la derivata di una funzione complessa:
.
E abbiamo ancora una volta la formula (1).
Esempio 1
Trova la derivata della seguente funzione:
.
Soluzione
Calcoliamo utilizzando la derivata logaritmica. Logaritmiamo la funzione originale:
(A1.1) .
Dalla tabella delle derivate troviamo:
;
.
Utilizzando la formula della derivata del prodotto, abbiamo:
.
Distinguiamo (A1.1):
.
Perché il
,
Quello
.
Risposta
Esempio 2
Trova la derivata della funzione
.
Soluzione
Logaritmiamo la funzione originale:
(A2.1) .
In cui abbiamo esaminato i derivati più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune tecniche tecniche per trovare i derivati. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o se alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, mettetevi di umore serio: il materiale non è semplice, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.
In pratica bisogna avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi addirittura quasi sempre, quando ti vengono affidati dei compiti per trovare le derivate.
Osserviamo la tabella sulla regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:
Scopriamolo. Prima di tutto prestiamo attenzione all'inserimento. Qui abbiamo due funzioni - e , e la funzione, in senso figurato, è annidata all'interno della funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.
Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..
! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo le espressioni informali “funzione esterna”, funzione “interna” solo per facilitare la comprensione del materiale.
Per chiarire la situazione, considerare:
Esempio 1
Trova la derivata di una funzione
Sotto il seno non abbiamo solo la lettera “X”, ma un'intera espressione, quindi trovare la derivata direttamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che il seno non può essere “fatto a pezzi”:
In questo esempio, è già intuitivamente chiaro dalle mie spiegazioni che una funzione è una funzione complessa e che il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.
Primo passo quello che devi fare per trovare la derivata di una funzione complessa è capire quale funzione è interna e quale è esterna.
Quando semplici esempi Sembra chiaro che sotto il seno si trova un polinomio. Ma cosa succede se tutto non è ovvio? Come determinare con precisione quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, suggerisco di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o in bozza.
Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione at su una calcolatrice (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).
Cosa calcoleremo per primo? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna: 
In secondo luogo dovrà essere trovato, quindi seno – sarà una funzione esterna: 
Dopo che noi ESAURITO con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola della differenziazione delle funzioni complesse 
.
Iniziamo a decidere. Dalla lezione Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto di una soluzione a qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e inseriamo un tratto in alto a destra:
All'inizio trova la derivata funzione esterna(seno), guarda la tabella delle derivate delle funzioni elementari e nota che . Tutte le formule della tabella sono applicabili anche se "x" viene sostituito con un'espressione complessa, in questo caso:
Si prega di notare che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.
Beh, è abbastanza ovvio
Il risultato dell'applicazione della formula 
nella sua forma finale assomiglia a questo:
Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:
In caso di malintesi, scrivere la soluzione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione
Come sempre scriviamo: 
Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove ne abbiamo una interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o in una bozza) a calcolare il valore dell'espressione a . Cosa dovresti fare prima? Innanzitutto bisogna calcolare a cosa equivale la base: quindi il polinomio è la funzione interna: 
E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna: 
Secondo la formula 
, per prima cosa devi trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula richiesta: . Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per “X”, ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa 
Prossimo:
Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la nostra funzione interna non cambia: 
Ora non resta che trovare una derivata molto semplice della funzione interna e modificare leggermente il risultato:
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio per decisione indipendente(risposta alla fine della lezione).
Per consolidare la tua comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragionando su dove si trova la funzione esterna e dove è interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?
Esempio 5
a) Trovare la derivata della funzione
b) Trovare la derivata della funzione
Esempio 6
Trova la derivata di una funzione 
Qui abbiamo una radice e per differenziare la radice bisogna rappresentarla come una potenza. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma appropriata per la differenziazione:
Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma dei tre termini è una funzione interna, mentre l'elevazione a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola della differenziazione delle funzioni complesse 
:
Rappresentiamo nuovamente il grado come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:
Pronto. Puoi anche ridurre l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando ottieni derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore non necessario e sarà scomodo per l'insegnante controllare).
Esempio 7
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).
È interessante notare che a volte invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente 
, ma una soluzione del genere sembrerà una perversione insolita. Ecco un tipico esempio:
Esempio 8
Trova la derivata di una funzione
Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente 
, ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:
Prepariamo la funzione per la differenziazione: spostiamo il meno fuori dal segno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:
Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola 
:
Troviamo la derivata della funzione interna e ripristiniamo il coseno:
Pronto. Nell'esempio considerato è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo usando la regola 
, le risposte devono corrispondere.
Esempio 9
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).
Finora abbiamo esaminato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.
Esempio 10
Trova la derivata di una funzione
Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a calcolare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come potremmo contare su una calcolatrice?
Per prima cosa devi trovare , il che significa che l'arcoseno è l'incorporamento più profondo:
Questo arcoseno di uno dovrebbe quindi essere quadrato:
E infine eleviamo sette a potenza: 
Cioè, in questo esempio abbiamo tre funzioni diverse e due incorporamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.
Iniziamo a decidere
Secondo la regola 
Per prima cosa devi prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che al posto di “x” abbiamo un'espressione complessa, che non nega la validità di questa formula. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa 
Prossimo.
Dimostrazione e derivazione delle formule per la derivata dell'esponenziale (e alla x) e della funzione esponenziale (a alla x). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x ed e^nx. Formule per le derivate di ordine superiore.
La derivata di un esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla x è uguale a e alla x):
(1)
(e x )′ = e x.
La derivata di una funzione esponenziale con base a è uguale alla funzione stessa moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2)
.
Derivazione della formula per la derivata dell'esponenziale, e elevato alla x
Un esponenziale è una funzione esponenziale la cui base è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere un numero naturale o un numero reale. Successivamente, ricaviamo la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.
Derivazione della formula della derivata esponenziale
Considera l'esponenziale, e alla potenza x:
y = e x .
Questa funzione è definita per tutti. Troviamo la sua derivata rispetto alla variabile x. Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3)
.
Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per fare ciò abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
UN) Proprietà dell'esponente:
(4)
;
B) Proprietà del logaritmo:
(5)
;
IN) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6)
.
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo limite notevole:
(7)
.
Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.
Facciamo una sostituzione. Poi ; .
Data la continuità dell’esponenziale,
.
Pertanto, quando , . Di conseguenza otteniamo:
.
Facciamo una sostituzione. Poi . A , . E noi abbiamo:
.
Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Poi
.
Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Anche qui abbiamo utilizzato il secondo limite notevole (7). Poi
.
Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.
Derivazione della formula per la derivata di una funzione esponenziale
Ora ricaviamo la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Lo crediamo e. Quindi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.
Trasformiamo la formula (8). Per questo useremo proprietà della funzione esponenziale e logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.
Derivate di ordine superiore di e alla x
Cerchiamo ora le derivate di ordine superiore. Consideriamo prima l'esponente:
(14)
.
(1)
.
Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando la (1), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.
Ciò dimostra che anche la derivata di ordine n è uguale alla funzione originale:
.
Derivate di ordine superiore della funzione esponenziale
Consideriamo ora una funzione esponenziale con base di grado a:
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(15)
.
Differenziando la (15), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.
Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originaria per . Pertanto la derivata di ordine n ha la seguente forma:
.