La costruzione di grafici di funzioni contenenti moduli di solito causa notevoli difficoltà agli scolari. Tuttavia, non tutto è così male. Basta ricordare diversi algoritmi per risolvere tali problemi e puoi facilmente costruire un grafico anche per i più apparentemente funzione complessa. Vediamo quali sono questi algoritmi.
1. Tracciare la funzione y = |f(x)|
Si noti che l'insieme dei valori della funzione y = |f(x)| : y ≥ 0. Pertanto, i grafici di tali funzioni si trovano sempre completamente nel semipiano superiore.
Tracciare la funzione y = |f(x)| consiste nei seguenti quattro semplici passaggi.
1) Costruire con cura e attenzione il grafico della funzione y = f(x).
2) Lasciare invariati tutti i punti del grafico che si trovano sopra o sull'asse 0x.
3) La parte del grafico che si trova sotto l'asse 0x, viene visualizzata simmetricamente rispetto all'asse 0x.
Esempio 1. Disegna un grafico della funzione y = |x 2 - 4x + 3|
1) Costruiamo un grafico della funzione y \u003d x 2 - 4x + 3. È ovvio che il grafico di questa funzione è una parabola. Troviamo le coordinate di tutti i punti di intersezione della parabola con gli assi coordinati e le coordinate del vertice della parabola.
x 2 - 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Pertanto, la parabola interseca l'asse 0x nei punti (3, 0) e (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Pertanto, la parabola interseca l'asse 0y nel punto (0, 3).
Coordinate del vertice della parabola:
x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Pertanto, il punto (2, -1) è il vertice di questa parabola.
Disegna una parabola utilizzando i dati ricevuti (Fig. 1)
2) La parte del grafico che si trova sotto l'asse 0x viene visualizzata simmetricamente rispetto all'asse 0x.
3) Otteniamo il grafico della funzione originale ( Riso. 2, indicato da una linea tratteggiata).
2. Tracciare la funzione y = f(|x|)
Si noti che le funzioni della forma y = f(|x|) sono pari:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ciò significa che i grafici di tali funzioni sono simmetrici rispetto all'asse 0y.
Tracciare la funzione y = f(|x|) consiste nella seguente semplice catena di azioni.
1) Tracciare la funzione y = f(x).
2) Lascia quella parte del grafo per cui x ≥ 0, cioè la parte del grafo situata nel semipiano destro.
3) Visualizzare la parte del grafico specificata nel paragrafo (2) simmetricamente all'asse 0y.
4) Come grafico finale, selezionare l'unione delle curve ottenute nei paragrafi (2) e (3).
Esempio 2. Disegna un grafico della funzione y = x 2 – 4 · |x| + 3
Poiché x 2 = |x| 2 , allora la funzione originale può essere riscritta come segue: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. E ora possiamo applicare l'algoritmo proposto sopra.
1) Costruiamo con cura e attenzione il grafico della funzione y \u003d x 2 - 4 x + 3 (vedi anche Riso. uno).
2) Lasciamo quella parte del grafo per cui x ≥ 0, cioè la parte del grafo situata nel semipiano destro.
3) Visualizza il lato destro del grafico simmetricamente rispetto all'asse 0y.
(Fig. 3).
Esempio 3. Disegna un grafico della funzione y = log 2 |x|
Applichiamo lo schema sopra indicato.
1) Tracciamo la funzione y = log 2 x (Fig. 4).
3. Tracciare la funzione y = |f(|x|)|
Si noti che le funzioni della forma y = |f(|x|)| sono anche pari. Infatti, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), e quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto all'asse 0y. L'insieme dei valori di tali funzioni: y ≥ 0. Quindi, i grafici di tali funzioni si trovano completamente nel semipiano superiore.
Per tracciare la funzione y = |f(|x|)|, devi:
1) Costruire un grafico pulito della funzione y = f(|x|).
2) Lasciare inalterata la parte del grafico che si trova sopra o sull'asse 0x.
3) La parte del grafico situata sotto l'asse 0x deve essere visualizzata simmetricamente rispetto all'asse 0x.
4) Come grafico finale, selezionare l'unione delle curve ottenute nei paragrafi (2) e (3).
Esempio 4. Disegna un grafico della funzione y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Si noti che x 2 = |x| 2. Quindi, invece della funzione originale y = -x 2 + 2|x| - uno
puoi usare la funzione y = -|x| 2 + 2|x| – 1, poiché i loro grafici sono gli stessi.
Costruiamo un grafico y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Per questo, utilizziamo l'algoritmo 2.
a) Tracciamo la funzione y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Fig. 6).
b) Lasciamo quella parte del grafico che si trova nel semipiano destro.
c) Visualizza la parte risultante del grafico simmetricamente rispetto all'asse 0y.
d) Il grafico risultante è mostrato nella figura con una linea tratteggiata (Fig. 7).
2) Non ci sono punti sopra l'asse 0x, lasciamo invariati i punti sull'asse 0x.
3) La parte del grafico situata sotto l'asse 0x viene visualizzata simmetricamente rispetto a 0x.
4) Il grafico risultante è mostrato in figura da una linea tratteggiata (Fig. 8).
Esempio 5. Traccia la funzione y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Per prima cosa devi tracciare la funzione y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Per fare ciò, torniamo all'algoritmo 2.
a) Tracciare accuratamente la funzione y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).
Si noti che questa funzione è lineare-frazionaria e il suo grafico è un'iperbole. Per costruire una curva, devi prima trovare gli asintoti del grafico. Orizzontale - y \u003d 2/1 (il rapporto tra i coefficienti in x nel numeratore e denominatore di una frazione), verticale - x \u003d -3.
2) La parte del grafico che si trova sopra o sull'asse 0x verrà lasciata invariata.
3) La parte del grafico situata sotto l'asse 0x verrà visualizzata simmetricamente rispetto a 0x.
4) Il grafico finale è mostrato in figura (Fig. 11).
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In precedenza abbiamo studiato altre funzioni, ad esempio una lineare, ricordiamone la forma standard:
da qui l'ovvia differenza fondamentale - nella funzione lineare X sta nel primo grado, e in quello nuova caratteristica che stiamo per studiare, X sta nel secondo grado.
Ricordiamo che il grafico di una funzione lineare è una retta, e il grafico di una funzione, come vedremo, è una curva chiamata parabola.
Cominciamo scoprendo da dove viene la formula. La spiegazione è questa: se ci viene dato un quadrato con un lato ma, allora possiamo calcolarne l'area come segue:
Se cambiamo la lunghezza del lato del quadrato, la sua area cambierà.
Quindi, viene fornito uno dei motivi per cui la funzione viene studiata
Ricordiamo che la variabile Xè una variabile indipendente, o argomento, nell'interpretazione fisica può essere, ad esempio, tempo. La distanza è, al contrario, una variabile dipendente, dipende dal tempo. Una variabile o funzione dipendente è una variabile a.
Questa è la legge di corrispondenza, secondo la quale ogni valore X mappato su un singolo valore a.
Qualsiasi legge di corrispondenza deve soddisfare il requisito dell'unicità dall'argomento alla funzione. In un'interpretazione fisica, questo appare abbastanza chiaro sull'esempio della dipendenza della distanza dal tempo: in ogni momento siamo a una certa distanza dal punto di partenza, ed è impossibile allo stesso tempo all'istante t essere entrambi 10 e 20 chilometri dall'inizio del viaggio.
Allo stesso tempo, ogni valore di funzione può essere raggiunto con diversi valori di argomento.
Quindi, dobbiamo costruire un grafico della funzione, per fare ciò, creare una tabella. Quindi, secondo il grafico, esaminare la funzione e le sue proprietà. Ma anche prima di tracciare il grafico, possiamo dire qualcosa sulle sue proprietà dalla forma della funzione: è ovvio che a non può assumere valori negativi, poiché
Allora facciamo una tabella:
Riso. uno
Dal grafico è facile notare le seguenti proprietà:
Asse aè l'asse di simmetria del grafico;
La sommità della parabola è il punto (0; 0);
Vediamo che la funzione accetta solo valori negativi;
Nell'intervallo dove 
la funzione è decrescente, ma sull'intervallo in cui la funzione è crescente;
La funzione acquisisce il valore più piccolo al vertice, 
;
Non esiste un valore massimo della funzione;
Esempio 1
Condizione:
Soluzione:
Nella misura in cui X cambia condizionatamente su un intervallo specifico, possiamo dire della funzione che aumenta e cambia sull'intervallo . La funzione ha un valore minimo e un valore massimo su questo intervallo
Riso. 2. Grafico della funzione y = x 2 , x ∈
Esempio 2
Condizione: Trova il più grande e valore più piccolo caratteristiche:
Soluzione:
X cambia nell'intervallo, il che significa a diminuisce sull'intervallo while e aumenta sull'intervallo while .
Quindi i limiti del cambiamento X, e i limiti del cambiamento a, il che significa che su questo intervallo c'è sia un valore minimo della funzione che un massimo
Riso. 3. Grafico della funzione y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Illustriamo il fatto che lo stesso valore di una funzione può essere ottenuto con più valori dell'argomento.
Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare sul piano e tracciamo i valori dell'argomento sull'asse delle ascisse X e sull'asse y - i valori della funzione y = f(x).
Grafico delle funzioni y = f(x) viene chiamato l'insieme di tutti i punti, per cui le ascisse appartengono al dominio della funzione e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione.
In altre parole, il grafico della funzione y \u003d f (x) è l'insieme di tutti i punti del piano, le coordinate X, a che soddisfano la relazione y = f(x).
Sulla fig. 45 e 46 sono grafici di funzioni y = 2x + 1 e y \u003d x 2 - 2x.
A rigor di termini, si dovrebbe distinguere tra il grafico di una funzione (la cui esatta definizione matematica è stata data sopra) e la curva disegnata, che fornisce sempre solo uno schizzo più o meno accurato del grafico (e anche allora, di regola, non dell'intero grafo, ma solo della sua parte situata nelle parti finali del piano). In quanto segue, tuttavia, ci riferiremo solitamente a "schema" piuttosto che a "schema grafico".
Usando un grafico, puoi trovare il valore di una funzione in un punto. Vale a dire, se il punto x = a appartiene all'ambito della funzione y = f(x), quindi per trovare il numero fa)(cioè i valori della funzione al punto x = a) dovrebbe farlo. Necessità attraverso un punto con un'ascissa x = a traccia una retta parallela all'asse y; questa linea intersecherà il grafico della funzione y = f(x) a un certo punto; l'ordinata di questo punto sarà, in virtù della definizione del grafico, uguale a fa)(Fig. 47).
Ad esempio, per la funzione f(x) = x 2 - 2x utilizzando il grafico (Fig. 46) troviamo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, ecc.
Un grafico di funzione illustra visivamente il comportamento e le proprietà di una funzione. Ad esempio, da una considerazione della Fig. 46 è chiaro che la funzione y \u003d x 2 - 2x accetta valori positivi a X< 0 e a x > 2, negativo - a 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x accetta a x = 1.
Per tracciare una funzione f(x) devi trovare tutti i punti del piano, le coordinate X,a che soddisfano l'equazione y = f(x). Nella maggior parte dei casi, questo è impossibile, poiché ci sono infiniti punti di questo tipo. Pertanto, il grafico della funzione viene rappresentato approssimativamente, con maggiore o minore precisione. Il più semplice è il metodo di plottaggio multipunto. Consiste nel fatto che l'argomento X dai un numero finito di valori - diciamo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k e crea una tabella che includa i valori selezionati della funzione.
La tabella si presenta così:
Dopo aver compilato una tabella del genere, possiamo delineare diversi punti sul grafico della funzione y = f(x). Quindi, collegando questi punti con una linea liscia, otteniamo una vista approssimativa del grafico della funzione y = f(x).
Tuttavia, va notato che il metodo di tracciatura multipunto è molto inaffidabile. Rimane, infatti, sconosciuto il comportamento del grafico tra i punti marcati e il suo comportamento al di fuori del segmento compreso tra i punti estremi presi.
Esempio 1. Per tracciare una funzione y = f(x) qualcuno ha compilato una tabella di argomenti e valori di funzione:
I cinque punti corrispondenti sono mostrati in Fig. 48.
Basandosi sulla posizione di questi punti, ha concluso che il grafico della funzione è una linea retta (mostrata in Fig. 48 da una linea tratteggiata). Questa conclusione può essere considerata attendibile? A meno che non ci siano ulteriori considerazioni a sostegno di questa conclusione, difficilmente può essere considerata affidabile. affidabile.
Per corroborare la nostra affermazione, consideriamo la funzione
.
I calcoli mostrano che i valori di questa funzione nei punti -2, -1, 0, 1, 2 sono appena descritti dalla tabella sopra. Tuttavia, il grafico di questa funzione non è affatto una linea retta (è mostrato in Fig. 49). Un altro esempio è la funzione y = x + l + sinx; i suoi significati sono descritti anche nella tabella sopra.
Questi esempi mostrano che nella sua forma "pura", il metodo di tracciatura multipunto non è affidabile. Pertanto, per tracciare una data funzione, di norma, procedere come segue. In primo luogo, vengono studiate le proprietà di questa funzione, con l'aiuto della quale è possibile costruire uno schizzo del grafico. Quindi, calcolando i valori della funzione in più punti (la cui scelta dipende dalle proprietà impostate della funzione), si trovano i punti corrispondenti del grafico. E, infine, viene tracciata una curva attraverso i punti costruiti utilizzando le proprietà di questa funzione.
Considereremo in seguito alcune proprietà (le più semplici e utilizzate di frequente) delle funzioni utilizzate per trovare uno schizzo di un grafico, ma ora analizzeremo alcuni metodi comunemente usati per tracciare i grafici.
Grafico della funzione y = |f(x)|.
Spesso è necessario tracciare una funzione y = |f(x)|, dove f(x) - data funzione. Ricorda come questo è fatto. Per definizione del valore assoluto di un numero si può scrivere
Ciò significa che il grafico della funzione y=|f(x)| può essere ottenuto dal grafico, funzioni y = f(x) come segue: tutti i punti del grafico della funzione y = f(x), le cui ordinate non sono negative, vanno lasciate invariate; inoltre, al posto dei punti del grafico della funzione y = f(x), avendo coordinate negative, si dovrebbero costruire i punti corrispondenti del grafico della funzione y = -f(x)(cioè parte del grafico della funzione
y = f(x), che si trova al di sotto dell'asse X, dovrebbe riflettersi simmetricamente rispetto all'asse X).
Esempio 2 Traccia una funzione y = |x|.
Prendiamo il grafico della funzione y = x(Fig. 50, a) e parte di questo grafico con X< 0 (sdraiato sotto l'asse X) viene riflessa simmetricamente attorno all'asse X. Di conseguenza, otteniamo il grafico della funzione y = |x|(Fig. 50, b).
Esempio 3. Traccia una funzione y = |x 2 - 2x|.
Per prima cosa tracciamo la funzione y = x 2 - 2x. Il grafico di questa funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, la parte superiore della parabola ha coordinate (1; -1), il suo grafico interseca l'asse delle ascisse nei punti 0 e 2. Sull'intervallo (0; 2 ) la funzione assume valori negativi, quindi questa parte del grafico si riflette simmetricamente sull'asse x. La Figura 51 mostra un grafico della funzione y \u003d |x 2 -2x |, in base al grafico della funzione y = x 2 - 2x
Grafico della funzione y = f(x) + g(x)
Considera il problema del tracciare la funzione y = f(x) + g(x). se vengono forniti grafici di funzioni y = f(x) e y = g(x).
Si noti che il dominio della funzione y = |f(x) + g(x)| è l'insieme di tutti quei valori di x per i quali sono definite entrambe le funzioni y = f(x) e y = g(x), cioè questo dominio di definizione è l'intersezione dei domini di definizione, le funzioni f(x ) e g(x).
Passiamo ai punti (x 0, y 1) E (x 0, y 2) appartengono rispettivamente ai grafici delle funzioni y = f(x) e y = g(x), cioè y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Allora il punto (x0;. y1 + y2) appartiene al grafico della funzione y = f(x) + g(x)(per f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. e qualsiasi punto del grafico della funzione y = f(x) + g(x) si può ottenere in questo modo. Pertanto, il grafico della funzione y = f(x) + g(x) può essere ottenuto dai grafici delle funzioni y = f(x). e y = g(x) sostituendo ogni punto ( x n, y 1) grafica delle funzioni y = f(x) punto (x n, y 1 + y 2), dove y 2 = g(x n), cioè spostando ogni punto ( x n, y 1) grafico della funzione y = f(x) lungo l'asse a per l'importo y 1 \u003d g (x n). In questo caso, vengono presi in considerazione solo tali punti. X n per cui sono definite entrambe le funzioni y = f(x) e y = g(x).
Questo metodo per tracciare un grafico di funzione y = f(x) + g(x) è chiamata addizione di grafici di funzioni y = f(x) e y = g(x)
Esempio 4. Nella figura, mediante il metodo di aggiunta di grafici, viene costruito un grafico della funzione
y = x + sinx.
Quando si traccia una funzione y = x + sinx lo supponevamo f(x) = x, ma g(x) = sinx. Per costruire un grafico di funzione, selezioniamo punti con le ascisse -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx calcoleremo nei punti selezionati e inseriremo i risultati nella tabella.