La costruzione di grafici di funzioni contenenti moduli di solito causa notevoli difficoltà agli scolari. Tuttavia, non tutto è così male. È sufficiente ricordare alcuni algoritmi per risolvere tali problemi e puoi facilmente costruire un grafico anche per quelli più apparentemente funzione complessa. Scopriamo che tipo di algoritmi sono questi.
1. Tracciare un grafico della funzione y = |f(x)|
Si noti che l'insieme dei valori della funzione y = |f(x)| : y ≥ 0. Pertanto, i grafici di tali funzioni si trovano sempre interamente nel semipiano superiore.
Tracciare un grafico della funzione y = |f(x)| consiste nei seguenti quattro semplici passaggi.
1) Costruisci con cura e attenzione un grafico della funzione y = f(x).
2) Lasciare invariati tutti i punti del grafico che si trovano sopra o sull'asse 0x.
3) Visualizzare la parte del grafico che si trova sotto l'asse 0x simmetricamente rispetto all'asse 0x.
Esempio 1. Disegna un grafico della funzione y = |x 2 – 4x + 3|
1) Costruiamo un grafico della funzione y = x 2 – 4x + 3. Ovviamente il grafico di questa funzione è una parabola. Troviamo le coordinate di tutti i punti di intersezione della parabola con gli assi coordinati e le coordinate del vertice della parabola.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Pertanto, la parabola interseca l'asse 0x nei punti (3, 0) e (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Pertanto, la parabola interseca l'asse 0y nel punto (0, 3).
Coordinate del vertice della parabola:
xin = -(-4/2) = 2, yin = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Pertanto il punto (2, -1) è il vertice di questa parabola.
Disegna una parabola utilizzando i dati ottenuti (Fig. 1)
2) La parte del grafico che si trova sotto l'asse 0x viene visualizzata simmetricamente rispetto all'asse 0x.
3) Otteniamo un grafico della funzione originale ( riso. 2, mostrato in linea tratteggiata).
2. Rappresentazione grafica della funzione y = f(|x|)
Si noti che le funzioni della forma y = f(|x|) sono pari:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ciò significa che i grafici di tali funzioni sono simmetrici rispetto all'asse 0y.
Tracciare un grafico della funzione y = f(|x|) consiste nella seguente semplice catena di azioni.
1) Rappresentare graficamente la funzione y = f(x).
2) Lasciare quella parte del grafico per cui x ≥ 0, cioè la parte del grafico situata nel semipiano destro.
3) Visualizzare la parte del grafico specificata al punto (2) simmetricamente all'asse 0y.
4) Come grafico finale selezionare l'unione delle curve ottenute nei punti (2) e (3).
Esempio 2. Disegna un grafico della funzione y = x 2 – 4 · |x| +3
Poiché x2 = |x| 2, allora la funzione originale può essere riscritta nella seguente forma: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Ora possiamo applicare l'algoritmo proposto sopra.
1) Costruiamo attentamente e attentamente un grafico della funzione y = x 2 – 4 x + 3 (vedi anche riso. 1).
2) Lasciamo quella parte del grafico per cui x ≥ 0, cioè la parte del grafico situata nel semipiano destro.
3) Visualizzare il lato destro del grafico simmetricamente all'asse 0y.
(figura 3).
Esempio 3. Disegna un grafico della funzione y = log 2 |x|
Applichiamo lo schema sopra riportato.
1) Rappresentare graficamente la funzione y = log 2 x (Fig.4).
3. Tracciare la funzione y = |f(|x|)|
Si noti che le funzioni della forma y = |f(|x|)| sono anche pari. Infatti, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), e quindi i loro grafici sono simmetrici rispetto all'asse 0y. L'insieme dei valori di tali funzioni: y ≥ 0. Ciò significa che i grafici di tali funzioni si trovano interamente nel semipiano superiore.
Per tracciare la funzione y = |f(|x|)|, è necessario:
1) Costruire attentamente un grafico della funzione y = f(|x|).
2) Lasciare invariata la parte del grafico che si trova sopra o sull'asse 0x.
3) Visualizzare la parte del grafico situata sotto l'asse 0x simmetricamente rispetto all'asse 0x.
4) Come grafico finale selezionare l'unione delle curve ottenute nei punti (2) e (3).
Esempio 4. Disegna un grafico della funzione y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Si noti che x2 = |x| 2. Ciò significa che invece della funzione originale y = -x 2 + 2|x| -1
puoi usare la funzione y = -|x| 2 + 2|x| – 1, poiché i loro grafici coincidono.
Costruiamo un grafo y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Per questo utilizziamo l’algoritmo 2.
a) Rappresentare graficamente la funzione y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).
b) Lasciamo quella parte del grafico che si trova nel semipiano destro.
c) Mostriamo la parte risultante del grafico simmetricamente all'asse 0y.
d) Il grafico risultante è mostrato nella linea tratteggiata nella figura (Fig.7).
2) Non ci sono punti sopra l'asse 0x; lasciamo invariati i punti sull'asse 0x.
3) La parte del grafico situata sotto l'asse 0x viene visualizzata simmetricamente rispetto a 0x.
4) Il grafico risultante è mostrato in figura con una linea tratteggiata (Fig. 8).
Esempio 5. Rappresentare graficamente la funzione y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Per prima cosa devi tracciare la funzione y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Per fare ciò, torniamo all’algoritmo 2.
a) Traccia attentamente la funzione y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).
Nota che questa funzione è lineare frazionaria e il suo grafico è un'iperbole. Per tracciare una curva, devi prima trovare gli asintoti del grafico. Orizzontale – y = 2/1 (il rapporto tra i coefficienti di x nel numeratore e denominatore della frazione), verticale – x = -3.
2) Lasceremo invariata quella parte del grafico che si trova sopra l'asse 0x o su di esso.
3) La parte del grafico situata sotto l'asse 0x verrà visualizzata simmetricamente rispetto a 0x.
4) Il grafico finale è mostrato in figura (Fig.11).
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In precedenza abbiamo studiato altre funzioni, ad esempio lineare, ricordiamo la sua forma standard:
da qui l'ovvia differenza fondamentale - nella funzione lineare X sta nel primo grado, e in quello nuova caratteristica, che iniziamo a studiare, X sta alla seconda potenza.
Ricordiamo che il grafico di una funzione lineare è una linea retta e il grafico di una funzione, come vedremo, è una curva chiamata parabola.
Cominciamo scoprendo da dove viene la formula. La spiegazione è questa: se ci viene dato un quadrato con lato UN, allora possiamo calcolarne l'area in questo modo:
Se modifichiamo la lunghezza del lato di un quadrato, la sua area cambierà.
Quindi, questo è uno dei motivi per cui la funzione viene studiata
Ricordiamo che la variabile X- questa è una variabile o argomento indipendente; in un'interpretazione fisica può essere, ad esempio, il tempo. La distanza è invece una variabile dipendente; dipende dal tempo. La variabile dipendente o funzione è una variabile A.
Questa è la legge di corrispondenza, secondo la quale ogni valore X viene assegnato un unico valore A.
Qualsiasi legge di corrispondenza deve soddisfare il requisito di unicità da argomento a funzione. In un'interpretazione fisica, questo appare abbastanza chiaro usando l'esempio della dipendenza della distanza dal tempo: in ogni momento ci troviamo a una certa distanza dal punto di partenza, ed è impossibile essere sia a 10 che a 20 chilometri dall'inizio del viaggio contemporaneamente al tempo t.
Allo stesso tempo, ogni valore di funzione può essere ottenuto con diversi valori di argomento.
Quindi, dobbiamo costruire un grafico della funzione, per questo dobbiamo creare una tabella. Quindi studia la funzione e le sue proprietà utilizzando il grafico. Ma prima ancora di costruire un grafico in base al tipo di funzione, possiamo dire qualcosa sulle sue proprietà: è ovvio che A non può assumere valori negativi, poiché
Quindi, facciamo una tabella:
Riso. 1
Dal grafico è facile notare le seguenti proprietà:
Asse A- questo è l'asse di simmetria del grafico;
Il vertice della parabola è il punto (0; 0);
Vediamo che la funzione accetta solo valori negativi;
Nell'intervallo dove 
la funzione diminuisce, e sull'intervallo in cui la funzione aumenta;
La funzione acquisisce il suo valore più piccolo al vertice, 
;
Non esiste il valore più grande di una funzione;
Esempio 1
Condizione:
Soluzione:
Perché il X in base ai cambiamenti di condizione su un intervallo specifico, possiamo dire della funzione che aumenta e cambia nell'intervallo . La funzione ha un valore minimo e un valore massimo su questo intervallo
Riso. 2. Grafico della funzione y = x 2 , x ∈
Esempio 2
Condizione: Trova il più grande e valore più piccolo Caratteristiche:
Soluzione:
X cambiamenti nell'intervallo, il che significa A diminuisce nell'intervallo while e aumenta nell'intervallo while .
Quindi, i limiti del cambiamento X e i limiti del cambiamento A, e, quindi, su un dato intervallo esiste sia un valore minimo che un massimo della funzione
Riso. 3. Grafico della funzione y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Illustriamo il fatto che lo stesso valore di funzione può essere ottenuto con diversi valori di argomento.
Scegliamo un sistema di coordinate rettangolari sul piano e tracciamo i valori dell'argomento sull'asse delle ascisse X e sull'asse delle ordinate - i valori della funzione y = f(x).
Grafico della funzione y = f(x)è l'insieme di tutti i punti le cui ascisse appartengono al dominio di definizione della funzione, e le ordinate sono uguali ai corrispondenti valori della funzione.
In altre parole, il grafico della funzione y = f (x) è l'insieme di tutti i punti del piano, coordinate X, A che soddisfano la relazione y = f(x).
Nella fig. 45 e 46 mostrano i grafici delle funzioni y = 2x + 1 E y = x2 - 2x.
A rigor di termini, si dovrebbe distinguere tra un grafico di una funzione (la cui esatta definizione matematica è stata data sopra) e una curva disegnata, che fornisce sempre solo uno schizzo più o meno accurato del grafico (e anche allora, di regola, non l'intero grafico, ma solo la sua parte situata nelle parti finali del piano). In quanto segue, tuttavia, diremo generalmente “grafico” piuttosto che “schizzo grafico”.
Usando un grafico, puoi trovare il valore di una funzione in un punto. Vale a dire, se il punto x = a appartiene al dominio di definizione della funzione y = f(x), quindi per trovare il numero fa)(ovvero i valori della funzione al punto x = a) dovresti farlo. È necessario attraverso il punto dell'ascissa x = a tracciare una linea retta parallela all'asse delle ordinate; questa linea intersecherà il grafico della funzione y = f(x) a un certo punto; l'ordinata di tale punto sarà, in virtù della definizione del grafico, pari a fa)(Fig. 47).
Ad esempio, per la funzione f(x) = x2 - 2x utilizzando il grafico (Fig. 46) troviamo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, ecc.
Un grafico di funzione illustra chiaramente il comportamento e le proprietà di una funzione. Ad esempio, dalla considerazione della Fig. 46 è chiaro che la funzione y = x2 - 2x accetta valori positivi A X< 0 e a x > 2, negativo - a 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x2 - 2x accetta a x = 1.
Rappresentare graficamente una funzione f(x) devi trovare tutti i punti del piano, le coordinate X,A che soddisfano l'equazione y = f(x). Nella maggior parte dei casi ciò è impossibile poiché esiste un numero infinito di tali punti. Pertanto, il grafico della funzione è rappresentato approssimativamente, con maggiore o minore precisione. Il più semplice è il metodo di tracciare un grafico utilizzando diversi punti. Consiste nel fatto che l'argomento X fornire un numero finito di valori, ad esempio x 1, x 2, x 3,..., x k e creare una tabella che includa i valori della funzione selezionata.
La tabella è simile a questa:
Dopo aver compilato una tabella del genere, possiamo delineare diversi punti sul grafico della funzione y = f(x). Quindi, collegando questi punti con una linea morbida, otteniamo una visione approssimativa del grafico della funzione y = f(x).
Va notato, tuttavia, che il metodo di tracciamento multipunto è molto inaffidabile. Resta infatti sconosciuto il comportamento del grafico tra i punti previsti ed il suo comportamento al di fuori del segmento compreso tra i punti estremi presi.
Esempio 1. Rappresentare graficamente una funzione y = f(x) qualcuno ha compilato una tabella di argomenti e valori di funzione:
I cinque punti corrispondenti sono mostrati in Fig. 48.
Sulla base della posizione di questi punti, concluse che il grafico della funzione è una linea retta (mostrata in Fig. 48 con una linea tratteggiata). Questa conclusione può essere considerata attendibile? A meno che non vi siano ulteriori considerazioni a sostegno di questa conclusione, difficilmente può essere considerata affidabile. affidabile.
Per comprovare la nostra affermazione, consideriamo la funzione
.
I calcoli mostrano che i valori di questa funzione nei punti -2, -1, 0, 1, 2 sono esattamente descritti dalla tabella sopra. Tuttavia, il grafico di questa funzione non è affatto una linea retta (è mostrato in Fig. 49). Un altro esempio potrebbe essere la funzione y = x + l + sinπx; i suoi significati sono descritti anche nella tabella sopra.
Questi esempi mostrano che nella sua forma “pura” il metodo di tracciare un grafico utilizzando più punti non è affidabile. Pertanto, per tracciare il grafico di una data funzione, si procede solitamente come segue. Innanzitutto studiamo le proprietà di questa funzione, con l'aiuto della quale possiamo costruire uno schizzo del grafico. Quindi, calcolando i valori della funzione in più punti (la cui scelta dipende dalle proprietà stabilite della funzione), si trovano i punti corrispondenti del grafico. Infine, viene tracciata una curva attraverso i punti costruiti utilizzando le proprietà di questa funzione.
In seguito esamineremo alcune proprietà (quelle più semplici e usate più frequentemente) delle funzioni utilizzate per trovare uno schizzo di grafico, ma ora esamineremo alcuni metodi comunemente usati per costruire grafici.
Grafico della funzione y = |f(x)|.
Spesso è necessario tracciare una funzione y = |f(x)|, dove f(x) - data funzione. Lascia che ti ricordiamo come è fatto. Definendo il valore assoluto di un numero, possiamo scrivere
Ciò significa che il grafico della funzione y =|f(x)| può essere ottenuto dal grafico, funzione y = f(x) come segue: tutti i punti sul grafico della funzione y = f(x), le cui ordinate non sono negative, dovrebbero essere lasciate invariate; inoltre, invece dei punti del grafico della funzione y = f(x) avendo coordinate negative, dovresti costruire i punti corrispondenti sul grafico della funzione y = -f(x)(cioè parte del grafico della funzione
y = f(x), che si trova sotto l'asse X, dovrebbe riflettersi simmetricamente rispetto all'asse X).
Esempio 2. Rappresentare graficamente la funzione y = |x|.
Prendiamo il grafico della funzione y = x(Fig. 50, a) e parte di questo grafico a X< 0 (che giace sotto l'asse X) riflesso simmetricamente rispetto all'asse X. Di conseguenza, otteniamo un grafico della funzione y = |x|(Fig. 50, b).
Esempio 3. Rappresentare graficamente la funzione y = |x2 - 2x|.
Innanzitutto, tracciamo la funzione y = x2 - 2x. Il grafico di questa funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, il vertice della parabola ha coordinate (1; -1), il suo grafico interseca l'asse x nei punti 0 e 2. Nell'intervallo (0; 2) la funzione assume valori negativi, quindi questa parte del grafico si riflette simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse. La Figura 51 mostra il grafico della funzione y = |x2 -2x|, in base al grafico della funzione y = x2 - 2x
Grafico della funzione y = f(x) + g(x)
Consideriamo il problema della costruzione del grafico di una funzione y = f(x) + g(x). se vengono forniti i grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x).
Si noti che il dominio di definizione della funzione y = |f(x) + g(x)| è l'insieme di tutti quei valori di x per i quali sono definite entrambe le funzioni y = f(x) e y = g(x), cioè questo dominio di definizione è l'intersezione dei domini di definizione, funzioni f(x) eg(x).
Lasciamo i punti (x0,y1) E (x0,y2) appartengono rispettivamente ai grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x), cioè s 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Allora il punto (x0;.y1 + y2) appartiene al grafico della funzione y = f(x) + g(x)(per f(x0) + g(x0) = sì 1+y2),. e qualsiasi punto del grafico della funzione y = f(x) + g(x) può essere ottenuto in questo modo. Pertanto, il grafico della funzione y = f(x) + g(x) possono essere ottenuti dai grafici delle funzioni y = f(x). E y = g(x) sostituendo ogni punto ( xn, y 1) grafica delle funzioni y = f(x) punto (x n, y 1 + y 2), Dove y2 = g(x n), cioè spostando ciascun punto ( x n, y 1) grafico della funzione y = f(x) lungo l'asse A per l'importo y1 = g(xn). In questo caso, vengono considerati solo tali punti X n per il quale sono definite entrambe le funzioni y = f(x) E y = g(x).
Questo metodo per tracciare una funzione y = f(x) + g(x) è chiamata addizione di grafici di funzioni y = f(x) E y = g(x)
Esempio 4. Nella figura, è stato costruito un grafico della funzione utilizzando il metodo di aggiunta di grafici
y = x + sinx.
Quando si traccia una funzione y = x + sinx lo abbiamo pensato f(x) = x, UN g(x) = sinx. Per tracciare il grafico della funzione, selezioniamo i punti con ascisse -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Calcoliamo nei punti selezionati e inseriamo i risultati nella tabella.