Definizione. Prismaè un poliedro, i cui vertici si trovano tutti su due piani paralleli, e in questi stessi due piani giacciono due facce del prisma, che sono poligoni uguali con lati corrispondentemente paralleli, e tutti i bordi che non giacciono in questi piani sono paralleli.

Si chiamano due facce uguali basi prismatiche(ABCDE, LA 1 B 1 C 1 RE 1 MI 1).

Vengono chiamate tutte le altre facce del prisma facce laterali(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Si formano tutte le facce laterali superficie laterale del prisma .

Tutte le facce laterali del prisma sono parallelogrammi .

Gli spigoli che non giacciono alle basi sono detti spigoli laterali del prisma ( AA1, BB1, CC1, DD 1, EE1).

Diagonale del prisma è un segmento le cui estremità sono due vertici di un prisma che non giacciono sulla stessa faccia (AD 1).

Viene chiamata la lunghezza del segmento che collega le basi del prisma e perpendicolare a entrambe le basi contemporaneamente altezza del prisma .

Designazione:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prima, in ordine trasversale, sono indicati i vertici di una base, poi, nello stesso ordine, i vertici di un'altra; le estremità di ciascun bordo laterale sono designate con le stesse lettere, solo i vertici che giacciono in una base sono designati da lettere senza indice e nell'altro - con indice)

Il nome del prisma è associato al numero di angoli nella figura che giace alla sua base, ad esempio, nella Figura 1 c'è un pentagono alla base, quindi il prisma si chiama prisma pentagonale. Ma perché un prisma del genere ha 7 facce, quindi esso eptaedro(2 facce - le basi del prisma, 5 facce - parallelogrammi, - le sue facce laterali)

Tra i prismi diritti spicca una tipologia particolare: i prismi regolari.

Si chiama prisma diritto corretto se le sue basi sono poligoni regolari.

Parallelepipedo

Parallelepipedo rettangolare- un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo.

Proprietà e teoremi:

,

dove d è la diagonale del quadrato;
a è il lato del quadrato.

Un’idea di prisma è data da:

• varie strutture architettoniche;
• Giocattoli per bambini;
• scatole per imballaggio;
• oggetti di design, ecc.

L'area della superficie totale e laterale del prisma

S completo = lato S + 2S principale,

Dove S pieno- superficie totale, Lato S-superficie laterale, Fondo S-area di base

La superficie laterale di un prisma diritto è pari al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.

Lato S= P base * h,

Dove Lato S-area della superficie laterale di un prisma diritto,

P principale - perimetro della base di un prisma dritto,

h è l'altezza del prisma rettilineo, pari al bordo laterale.

Volume del prisma

Il volume di un prisma è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza.

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Definizione 1. Superficie prismatica
Teorema 1. Su sezioni parallele di una superficie prismatica
Definizione 2. Sezione perpendicolare di una superficie prismatica
Definizione 3. Prisma
Definizione 4. Altezza del prisma
Definizione 5. Prisma destro
Teorema 2. Superficie laterale del prisma

Parallelepipedo:
Definizione 6. Parallelepipedo
Teorema 3. Sull'intersezione delle diagonali di un parallelepipedo
Definizione 7. Parallelepipedo retto
Definizione 8. Parallelepipedo rettangolare
Definizione 9. Misure di un parallelepipedo
Definizione 10. Cubo
Definizione 11. Romboedro
Teorema 4. Sulle diagonali di un parallelepipedo rettangolare
Teorema 5. Volume di un prisma
Teorema 6. Volume di un prisma retto
Teorema 7. Volume di un parallelepipedo rettangolare

Prismaè un poliedro le cui due facce (basi) giacciono su piani paralleli, e gli spigoli che non giacciono in queste facce sono paralleli tra loro.
Si chiamano facce diverse dalle basi laterale.
I lati delle facce laterali e delle basi sono chiamati nervature prismatiche, vengono chiamate le estremità degli spigoli i vertici del prisma. Costole laterali si chiamano bordi che non appartengono alle basi. Si chiama l'unione delle facce laterali superficie laterale del prisma, e si chiama l'unione di tutte le facce tutta la superficie del prisma. Altezza del prisma chiamata perpendicolare portata dal punto della base superiore al piano della base inferiore o lunghezza di questa perpendicolare. Prisma dritto chiamato prisma i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Corretto chiamato prisma diritto (Fig. 3), alla base del quale si trova un poligono regolare.

Designazioni:
l - nervatura laterale;
P - perimetro della base;
S o - area di base;
H - altezza;
P^ - perimetro della sezione perpendicolare;
S b - superficie laterale;
V - volume;
S p è l'area della superficie totale del prisma.

Definizione 2 . Una sezione perpendicolare di una superficie prismatica è una sezione di questa superficie mediante un piano perpendicolare ai suoi bordi. In base al teorema precedente, tutte le sezioni perpendicolari della stessa superficie prismatica saranno poligoni uguali.

Definizione 3 . Un prisma è un poliedro delimitato da una superficie prismatica e da due piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai bordi della superficie prismatica)
Vengono chiamate le facce che giacciono in questi ultimi piani basi prismatiche; facce appartenenti alla superficie prismatica - facce laterali; bordi della superficie prismatica - nervature laterali del prisma. In virtù del teorema precedente la base del prisma è poligoni uguali. Tutte le facce laterali del prisma - parallelogrammi; tutte le nervature laterali sono uguali tra loro.
Ovviamente, data la base del prisma ABCDE e uno degli spigoli AA" in dimensione e direzione, allora è possibile costruire un prisma disegnando gli spigoli BB", CC", ... uguali e paralleli allo spigolo AA" .

Definizione 4 . L'altezza di un prisma è la distanza tra i piani delle sue basi (HH").

Definizione 5 . Un prisma si dice diritto se le sue basi sono sezioni perpendicolari della superficie prismatica. In questo caso l'altezza del prisma è, ovviamente, la sua nervatura laterale; i bordi laterali saranno rettangoli.
I prismi possono essere classificati in base al numero di facce laterali, numero uguale lati del poligono che funge da base. Pertanto, i prismi possono essere triangolari, quadrangolari, pentagonali, ecc.

Teorema 2 . L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del bordo laterale e del perimetro della sezione perpendicolare.
Sia ABCDEA"B"C"D"E" un prisma dato e abcde la sua sezione perpendicolare, in modo che i segmenti ab, bc, .. siano perpendicolari ai suoi spigoli laterali. La faccia ABA"B" è un parallelogramma; la sua area è uguale al prodotto della base AA " per l'altezza che coincide con ab; l'area della faccia ВСВ "С" è uguale al prodotto della base ВВ" per l'altezza bc, ecc. Di conseguenza, superficie laterale(cioè la somma delle aree delle facce laterali) è uguale al prodotto dello spigolo laterale, cioè la lunghezza totale dei segmenti AA", BB", .., per la somma ab+bc+cd +de+ea.

I poligoni ABCDE e FHKMP giacenti su piani paralleli sono chiamati basi del prisma, la perpendicolare OO 1 abbassata da un punto qualsiasi della base al piano di un altro è chiamata altezza del prisma. Parallelogrammi ABHF, BCKH, ecc. sono chiamate facce laterali del prisma, e i loro lati SC, DM, ecc., che collegano i corrispondenti vertici delle basi, sono chiamati spigoli laterali. In un prisma tutti gli spigoli laterali sono uguali tra loro come segmenti di rette parallele racchiuse tra piani paralleli.
Un prisma si chiama retta ( Fig. 282, b) o obliquo ( Fig. 282, c) a seconda che le sue nervature laterali siano perpendicolari o inclinate rispetto alle basi. Un prisma rettilineo ha le facce laterali rettangolari. Il bordo laterale può essere preso come l'altezza di tale prisma.
Un prisma retto si dice regolare se le sue basi sono poligoni regolari. In un tale prisma, tutte le facce laterali sono rettangoli uguali.
Per rappresentare un prisma in un disegno complesso, è necessario conoscere ed essere in grado di rappresentare gli elementi che lo compongono (un punto, una linea retta, una figura piatta).
e la loro immagine nel disegno complesso (Fig. 283, a - i)

a) Disegno complesso di un prisma. La base del prisma si trova sul piano di proiezione P 1; una delle facce laterali del prisma è parallela al piano di proiezione P 2.
b) La base inferiore del prisma DEF è una figura piatta - un triangolo regolare situato nel piano P 1; il lato del triangolo DE è parallelo all'asse x 12 - La proiezione orizzontale confluisce con la base data e, quindi, è uguale alla sua dimensione naturale; La proiezione frontale si confonde con l'asse x 12 ed è uguale al lato della base del prisma.
c) La base superiore del prisma ABC è una figura piatta: un triangolo situato su un piano orizzontale. La proiezione orizzontale si confonde con la proiezione della base inferiore e la ricopre, poiché il prisma è diritto; proiezione frontale - diritta, parallela all'asse x 12, ad una distanza pari all'altezza del prisma.
d) La faccia laterale del prisma ABED è una figura piatta, un rettangolo che giace sul piano frontale. Proiezione frontale: un rettangolo uguale alla dimensione naturale del viso; la proiezione orizzontale è una linea retta uguale al lato della base del prisma.
e) ed f) Le facce laterali dei prismi ACFD e CBEF sono figure piatte - rettangoli che giacciono su piani di proiezione orizzontali situati ad un angolo di 60° rispetto al piano di proiezione P 2. Le proiezioni orizzontali sono linee rette, disposte rispetto all'asse x 12 con un angolo di 60°, e sono uguali alla dimensione naturale dei lati della base del prisma; le proiezioni frontali sono rettangoli le cui immagini sono più piccole della grandezza naturale: due lati di ciascun rettangolo sono uguali all'altezza del prisma.
g) Il bordo AD del prisma è una linea retta, perpendicolare al piano di proiezione P 1. Proiezione orizzontale - punto; frontale - dritto, perpendicolare all'asse x 12, uguale al bordo laterale del prisma (altezza del prisma).
h) Il lato AB della base superiore è diritto, parallelo ai piani P 1 e P 2. Le proiezioni orizzontali e frontali sono diritte, parallele all'asse x 12 e uguali al lato della base data del prisma. La proiezione frontale è distanziata dall'asse x 12 ad una distanza pari all'altezza del prisma.
i) I vertici del prisma. Punto E: la parte superiore della base inferiore si trova sul piano P 1. La proiezione orizzontale coincide con il punto stesso; frontale - si trova sull'asse x 12. Il punto C - la parte superiore della base superiore - si trova nello spazio. La proiezione orizzontale ha profondità; frontale - altezza pari all'altezza di questo prisma.
Ciò implica: Quando si progetta qualsiasi poliedro, è necessario dividerlo mentalmente nei suoi elementi componenti e determinare l'ordine della loro rappresentazione, costituito da successive operazioni grafiche. Le figure 284 e 285 mostrano esempi di operazioni grafiche sequenziali quando si esegue un disegno complesso e una rappresentazione visiva (assonometria) di prismi.
(Fig. 284).

Dato:
1. La base si trova sul piano di proiezione P 1.
2. Nessuno dei due lati della base è parallelo all'asse x 12.
I. Disegno complesso.
Io, a. Progettiamo la base inferiore: un poligono che, per condizione, si trova nel piano P1.
Io, b. Progettiamo la base superiore: un poligono uguale alla base inferiore con i lati corrispondentemente paralleli alla base inferiore, distanziato dalla base inferiore dell'altezza H del prisma dato.
Circuito integrato.
Progettiamo i bordi laterali del prisma: segmenti posizionati paralleli; le loro proiezioni orizzontali sono punti che si fondono con le proiezioni dei vertici delle basi; frontale - segmenti (paralleli) ottenuti collegando con linee rette le proiezioni dei vertici delle basi omonime. Le proiezioni frontali delle nervature, ricavate dalle proiezioni dei vertici B e C della base inferiore, sono rappresentate mediante linee tratteggiate come invisibili.
Io, G. Dati: proiezione orizzontale F 1 del punto F sulla base superiore e proiezione frontale K 2 del punto K sulla faccia laterale. È necessario determinare le posizioni delle loro seconde proiezioni.
Per il punto F. La seconda proiezione (frontale) F 2 del punto F coinciderà con la proiezione della base superiore, come punto giacente nel piano di questa base; il suo posto è determinato dalla linea di comunicazione verticale.
Per il punto K - La seconda proiezione (orizzontale) K 1 del punto K coinciderà con la proiezione orizzontale della faccia laterale, come punto giacente nel piano della faccia; il suo posto è determinato dalla linea di comunicazione verticale. II. Sviluppo della superficie del prisma
- una figura piana composta da facce laterali - rettangoli, in cui due lati sono uguali all'altezza del prisma, e gli altri due sono uguali ai lati corrispondenti della base, e da due basi uguali tra loro - poligoni irregolari .
Sugli aggetti si rivelano le dimensioni naturali delle basi e dei lati delle facce necessarie per costruire lo sviluppo; costruiamo su di essi; Su una linea retta tracciamo in sequenza i lati AB, BC, CD, DE ed EA del poligono: le basi del prisma, prese dalla proiezione orizzontale. Sulle perpendicolari tracciate dai punti A, B, C, D, E e A tracciamo l'altezza H di questo prisma preso dalla proiezione frontale e tracciamo una linea retta attraverso i segni. Di conseguenza, otteniamo una scansione delle facce laterali del prisma.
Se attacchiamo le basi del prisma a questo sviluppo, otteniamo uno sviluppo di tutta la superficie del prisma. Le basi del prisma devono essere fissate alla faccia laterale corrispondente utilizzando il metodo della triangolazione.
Sulla base superiore del prisma, utilizzando i raggi R e R 1, determiniamo la posizione del punto F, e sulla faccia laterale, utilizzando i raggi R 3 e H 1, determiniamo il punto K.
III. Una rappresentazione visiva di un prisma in dimetria.
III, a. Rappresentiamo la base inferiore del prisma secondo le coordinate dei punti A, B, C, D ed E (Fig. 284 I, a).
III, c. Rappresentiamo i bordi laterali collegando i corrispondenti vertici delle basi con linee rette. Determiniamo gli elementi visibili e invisibili del prisma e li delineamo con le linee corrispondenti,
III, d. Determiniamo i punti F e K sulla superficie del prisma - Il punto F - sulla base superiore viene determinato utilizzando le dimensioni i ed e; punto K - sulla faccia laterale utilizzando i 1 e H" .
Per un'immagine isometrica del prisma e per determinare le posizioni dei punti F e K, dovrebbe essere seguita la stessa sequenza.
Fig.285).

Dato:
1. La base si trova sul piano P 1.
2. Le nervature laterali sono parallele al piano P 2.
3. Nessun lato della base è parallelo all'asse x 12
I. Disegno complesso.
Io, a. Progettiamo in base a questa condizione: la base inferiore è un poligono che giace nel piano P1 e il bordo laterale è un segmento parallelo al piano P2 e inclinato rispetto al piano P1.
Io, b. Progettiamo i restanti bordi laterali: segmenti uguali e paralleli al primo bordo SE.
Circuito integrato.
Progettiamo la base superiore del prisma come un poligono, uguale e parallelo alla base inferiore, e otteniamo un disegno complesso del prisma.
Identifichiamo gli elementi invisibili sulle proiezioni. La proiezione frontale del bordo della VM e la proiezione orizzontale del lato del CD di base sono rappresentate da linee tratteggiate come invisibili.
I, g. Data la proiezione frontale Q 2 del punto Q sulla proiezione A 2 K 2 F 2 D 2 della faccia laterale; devi trovare la sua proiezione orizzontale. Per fare ciò, traccia una linea ausiliaria attraverso il punto Q 2 nella proiezione A 2 K 2 F 2 D 2 della faccia del prisma, parallela ai bordi laterali di questa faccia. Troviamo la proiezione orizzontale della linea ausiliaria e su di essa, utilizzando una linea di collegamento verticale, determiniamo la posizione della proiezione orizzontale desiderata Q 1 del punto Q.
II. Sviluppo della superficie del prisma.
Avendo le dimensioni naturali dei lati della base sulla proiezione orizzontale, e le dimensioni delle nervature sulla proiezione frontale, è possibile costruire uno sviluppo completo della superficie di un dato prisma.
Faremo rotolare il prisma, ruotandolo ogni volta attorno al bordo laterale, quindi ciascuna faccia laterale del prisma sul piano lascerà una traccia (parallelogramma) uguale alla sua dimensione naturale. Costruiremo la scansione laterale nel seguente ordine:
b) con raggio R (pari al lato della base CD), si pratica un intaglio nel punto D su una retta ausiliaria tracciata dal punto D2; collegando i punti retti C 2 e D e tracciando rette parallele a E 2 C 2 e C 2 D, si ottiene la faccia laterale CEFD;
c) poi, disponendo in modo analogo le facce laterali successive, si ottiene uno sviluppo delle facce laterali del prisma. Per ottenere uno sviluppo completo della superficie di questo prisma, lo attacchiamo alle corrispondenti facce della base.
III. Una rappresentazione visiva di un prisma in isometria.
III, a. Rappresentiamo la base inferiore del prisma e il bordo CE, utilizzando le coordinate secondo (

Informazioni generali sul prisma diritto

Viene chiamata la superficie laterale di un prisma (più precisamente, la superficie laterale). somma aree delle facce laterali. La superficie totale del prisma è uguale alla somma della superficie laterale e delle aree delle basi.

Teorema 19.1. La superficie laterale di un prisma diritto è uguale al prodotto del perimetro della base per l'altezza del prisma, cioè alla lunghezza dello spigolo laterale.

Prova. Le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli. Le basi di questi rettangoli sono i lati del poligono giacente alla base del prisma, e le altezze sono pari alla lunghezza dei bordi laterali. Ne consegue che la superficie laterale del prisma è uguale a

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

dove a 1 e n sono le lunghezze dei bordi della base, p è il perimetro della base del prisma e I è la lunghezza dei bordi laterali. Il teorema è stato dimostrato.

Compito pratico

Problema (22) . In un prisma inclinato viene eseguito sezione, perpendicolare alle nervature laterali e intersecante tutte le nervature laterali. Trova la superficie laterale del prisma se il perimetro della sezione è uguale a p e gli spigoli laterali sono uguali a l.

Soluzione. Il piano della sezione disegnata divide il prisma in due parti (Fig. 411). Sottoponiamone uno a traslazione parallela, unendo le basi del prisma. In questo caso, otteniamo un prisma dritto, la cui base è la sezione trasversale del prisma originale, e i bordi laterali sono uguali a l. Questo prisma ha la stessa superficie laterale di quello originale. Pertanto, la superficie laterale del prisma originale è uguale a pl.

Generalizzazione dell'argomento trattato

Ora proviamo a riassumere l’argomento che abbiamo trattato sui prismi e ricordiamo quali proprietà ha un prisma.

Proprietà del prisma

Innanzitutto un prisma ha tutte le sue basi come poligoni uguali;
In secondo luogo, in un prisma tutte le sue facce laterali sono parallelogrammi;
In terzo luogo, in una figura così sfaccettata come un prisma, tutti i bordi laterali sono uguali;

Inoltre, va ricordato che i poliedri come i prismi possono essere diritti o inclinati.

Quale prisma è chiamato prisma diritto?

Se il bordo laterale di un prisma si trova perpendicolare al piano della sua base, tale prisma è chiamato dritto.

Non sarebbe superfluo ricordare che le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli.

Che tipo di prisma si chiama obliquo?

Ma se il bordo laterale del prisma non è perpendicolare al piano della sua base, allora possiamo tranquillamente dire che è un prisma inclinato.

Quale prisma è detto corretto?

Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora tale prisma è regolare.

Ora ricordiamo le proprietà di un prisma regolare.

Proprietà di un prisma regolare

In primo luogo, i poligoni regolari servono sempre come basi di un prisma regolare;
In secondo luogo, se consideriamo le facce laterali di un prisma regolare, esse sono sempre rettangoli uguali;
In terzo luogo, se confrontiamo le dimensioni delle nervature laterali, in un prisma regolare sono sempre uguali.
In quarto luogo, un prisma corretto è sempre diritto;
In quinto luogo, se in un prisma regolare le facce laterali hanno la forma di quadrati, allora tale figura viene solitamente chiamata poligono semiregolare.

Sezione trasversale del prisma

Ora diamo un'occhiata alla sezione trasversale del prisma:

Compiti a casa

Ora proviamo a consolidare l'argomento che abbiamo imparato risolvendo i problemi.

Disegniamo un'inclinazione Prisma triangolare, in cui la distanza tra i suoi bordi sarà pari a: 3 cm, 4 cm e 5 cm, e la superficie laterale di questo prisma sarà pari a 60 cm2. Avendo questi parametri, trova il bordo laterale di questo prisma.

Lo sai che figure geometriche ci circondano costantemente non solo nelle lezioni di geometria, ma anche in Vita di ogni giorno Ci sono oggetti che assomigliano all'una o all'altra figura geometrica.

Tutti a casa, a scuola o al lavoro hanno un computer la cui unità di sistema ha la forma di un prisma diritto.

Se prendi una matita semplice, vedrai che la parte principale della matita è un prisma.

Camminando lungo la via centrale della città, vediamo che sotto i nostri piedi giace una piastrella che ha la forma di un prisma esagonale.

A. V. Pogorelov, Geometria per le classi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative