Predznak trigonometrijske funkcije ovisi isključivo o koordinatnoj četvrti u kojoj se nalazi numerički argument. Prošli put smo naučili kako prevesti argumente iz radijanske mjere u stupanjsku mjeru (pogledajte lekciju “Radijan i mjera stupnja kuta”), a zatim odrediti tu istu koordinatnu četvrtinu. Sada se pozabavimo, zapravo, definicijom predznaka sinusa, kosinusa i tangente.

Sinus kuta α je ordinata (koordinata y) točke na trigonometrijskoj kružnici, koja se javlja kada se radijus zakrene kroz kut α.

Kosinus kuta α je apscisa (koordinata x) točke na trigonometrijskoj kružnici, koja se javlja kada polumjer rotira kroz kut α.

Tangent kuta α je omjer sinusa i kosinusa. Ili, ekvivalentno, omjer y-koordinate i x-koordinate.

Oznaka: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Sve ove definicije poznate su vam iz srednjoškolskog tečaja algebre. No, ne zanimaju nas same definicije, nego posljedice koje nastaju na trigonometrijskom krugu. Pogledaj:

Plava boja označava pozitivan smjer osi OY (os ordinate), crvena boja označava pozitivan smjer osi OX (os apscise). Na tom "radaru" znaci trigonometrijskih funkcija postaju očiti. Posebno:

1. sin α > 0 ako kut α leži u I ili II koordinatnoj četvrti. To je zato što je, po definiciji, sinus ordinata (y koordinata). A koordinata y bit će pozitivna upravo u I i II koordinatnoj četvrti;
2. cos α > 0 ako kut α leži u I ili IV koordinatnoj četvrti. Jer samo tamo će x koordinata (to je također apscisa) biti veća od nule;
3. tg α > 0 ako kut α leži u I ili III koordinatnom kvadrantu. To proizlazi iz definicije: uostalom, tg α = y : x , dakle pozitivno je samo tamo gdje se predznaci x i y podudaraju. To se događa u 1. koordinatnoj četvrti (ovdje x > 0, y > 0) i 3. koordinatnoj četvrti (x< 0, y < 0).

Radi jasnoće bilježimo znakove svake trigonometrijske funkcije - sinus, kosinus i tangenta - na zasebnom "radaru". Dobijamo sljedeću sliku:

Napomena: u svom rasuđivanju nikada nisam govorio o četvrtoj trigonometrijskoj funkciji - kotangensu. Činjenica je da se znakovi kotangensa podudaraju sa znakovima tangente - tu nema posebnih pravila.

Sada predlažem da razmotrimo primjere slične zadacima B11 s probnog ispita iz matematike koji je održan 27. rujna 2011. godine. Najbolji način razumijevanje teorije je praksa. Po mogućnosti puno vježbe. Naravno, malo su izmijenjeni uvjeti zadataka.

Zadatak. Odredite znakove trigonometrijskih funkcija i izraza (vrijednosti samih funkcija ne treba uzeti u obzir):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Plan djelovanja je sljedeći: prvo pretvaramo sve kutove iz radijanske mjere u mjeru stupnja (π → 180°), a zatim gledamo u kojoj koordinatnoj četvrtini leži dobiveni broj. Poznavajući četvrti, lako možemo pronaći znakove - prema upravo opisanim pravilima. Imamo:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Budući da je 135° ∈ , ovo je kut iz II koordinatnog kvadranta. Ali sinus u drugoj četvrtini je pozitivan, pa je sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Jer 210° ∈ , ovo je kut iz III koordinatnog kvadranta u kojem su svi kosinusi negativni. Dakle, cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Budući da je 300° ∈ , nalazimo se u četvrtom kvadrantu, gdje tangenta zauzima negativne vrijednosti. Stoga tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Pozabavimo se sinusom: jer 135° ∈ , ovo je druga četvrtina, u kojoj su sinusi pozitivni, t.j. sin (3π/4) > 0. Sada radimo s kosinusom: 150° ∈ - opet druga četvrtina, kosinusi su negativni. Stoga cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Gledamo kosinus: 120° ∈ je II koordinatna četvrtina, pa cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Opet smo dobili proizvod u kojem su faktori različitih predznaka. Budući da “minus puta plus daje minus”, imamo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Radimo sa sinusom: od 150° ∈ govorimo o II koordinatnoj četvrtini, gdje su sinusi pozitivni. Dakle, sin (5π/6) > 0. Slično, 315° ∈ je IV koordinatna četvrtina, kosinusi su tamo pozitivni. Dakle, cos (7π/4) > 0. Dobili smo umnožak dva pozitivna broja – takav je izraz uvijek pozitivan. Zaključujemo: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ali kut 135° ∈ je druga četvrtina, t.j. preplanuli (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Budući da “minus plus daje znak minus”, imamo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Gledamo argument kotangensa: 240° ∈ je III koordinatna četvrtina, dakle ctg (4π/3) > 0. Slično, za tangentu imamo: 30° ∈ je I koordinatna četvrtina, t.j. najlakši kutak. Dakle, tg (π/6) > 0. Opet smo dobili dva pozitivna izraza - njihov će umnožak također biti pozitivan. Stoga je ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Na kraju, pogledajmo nekoliko složenijih problema. Osim saznanja predznaka trigonometrijske funkcije, ovdje morate napraviti mali proračun - baš kao što se to radi u stvarnim zadacima B11. U principu, to su gotovo pravi zadaci koji se stvarno nalaze na ispitu iz matematike.

Zadatak. Pronađite sin α ako je sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Budući da je sin 2 α = 0,64, imamo: sin α = ±0,8. Ostaje odlučiti: plus ili minus? Prema pretpostavci, kut α ∈ [π/2; π] je II koordinatna četvrtina, gdje su svi sinusi pozitivni. Dakle, sin α = 0,8 - eliminira se nesigurnost sa predznacima.

Zadatak. Pronađite cos α ako je cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Slično postupamo, t.j. ekstrakt Korijen: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Prema pretpostavci, kut α ∈ [π; 3π/2], tj. govorimo o III koordinatnoj četvrti. Tu su svi kosinusi negativni, pa je cos α = −0,2.

Zadatak. Pronađite sin α ako je sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Imamo: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Opet gledamo kut: α ∈ je IV koordinatna četvrtina, u kojoj će, kao što znate, sinus biti negativan. Dakle, zaključujemo: sin α = −0,5.

Zadatak. Pronađite tg α ako je tg 2 α = 9 i α ∈ .

Sve je isto, samo za tangentu. Uzimamo kvadratni korijen: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ali prema uvjetu, kut α ∈ je I koordinatni kvadrant. Sve trigonometrijske funkcije, uklj. tangenta, ima pozitivnih, dakle tg α = 3. To je to!

Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafovi, formule. Tablica tangenta i kotangensa, derivacija, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - duljina luka kružnice sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

tangenta ( tgα) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu susjedne noge |AB| .

kotangens ( ctgα) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotne noge |BC| .

Tangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tg x

Kotangens

Gdje n- cijeli.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također je usvojena sljedeća oznaka:
;
;
.

Graf kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x i y= ctg x periodični su s periodom π.

Paritet

Funkcije tangenta i kotangensa su neparne.

Područja definicija i vrijednosti, uzlazno, silazno

Funkcije tangenta i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli broj).

	y= tg x	y= ctg x
Opseg i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Uzlazni		-
Silazni	-
Ekstremi	-	-
Nule, y= 0
Točke presjeka s y-osi, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi u terminima sinusa i kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangente i kotangense zbroja i razlike

Ostale formule lako je dobiti, na primjer

Umnožak tangenti

Formula za zbroj i razliku tangenta

Ova tablica prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda s obzirom na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja u serije

Da biste dobili ekspanziju tangente u potencijama x, trebate uzeti nekoliko članova proširenja u nizu potencija za funkcije grijeh x i cos x i podijeliti ove polinome jedan u drugi , . To rezultira sljedećim formulama.

Na .

na .
gdje B n- Bernoullijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangenti i kotangensu su arktangens, odnosno arkkotangens.

Arktangent, arctg

, gdje n- cijeli.

Arc tangenta, arcctg

, gdje n- cijeli.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.
G. Korn, Priručnik za matematiku za znanstvenici i inženjeri, 2012.

Ako vam je već poznato trigonometrijski krug , a želite samo osvježiti pojedine elemente u sjećanju ili ste potpuno nestrpljivi, evo ga, :

Ovdje ćemo sve detaljno analizirati korak po korak.

Trigonometrijski krug nije luksuz, već nužnost

Trigonometrija mnogi su povezani s neprohodnom šikarom. Odjednom se nakupi toliko vrijednosti trigonometrijskih funkcija, toliko formula... Ali kao, isprva nije išlo, i ... stalno i dalje ... čisti nesporazum...

Vrlo je važno ne odmahnuti rukom vrijednosti trigonometrijskih funkcija, - kažu, uvijek možete pogledati ostrugu s tablicom vrijednosti.

Ako stalno gledate u tablicu s vrijednostima trigonometrijskih formula, riješimo se ove navike!

Spasit će nas! Radit ćete s njom nekoliko puta, a onda će vam sama iskočiti u glavi. Zašto je bolje od stola? Da, u tablici ćete pronaći ograničen broj vrijednosti, ali na krugu - SVE!

Na primjer, recimo, gledajući standardni stol vrijednosti trigonometrijskih formula , što je sinus od, recimo, 300 stupnjeva, ili -45.

Nema šanse? .. možete se, naravno, povezati formule redukcije... A gledajući trigonometrijski krug, lako možete odgovoriti na takva pitanja. I uskoro ćete znati kako!

I kad se odlučuje trigonometrijske jednadžbe a nejednakosti bez trigonometrijskog kruga – uopće nigdje.

Uvod u trigonometrijski krug

Idemo redom.

Najprije zapišite sljedeći niz brojeva:

A sad ovo:

I na kraju ovaj:

Naravno, jasno je da je, zapravo, na prvom mjestu je, na drugom mjestu je, a na posljednjem -. Odnosno, bit ćemo više zainteresirani za lanac.

Ali kako je lijepo ispalo! U tom slučaju ćemo obnoviti ove "prekrasne ljestve".

A zašto nam to treba?

Ovaj lanac je glavne vrijednosti sinusa i kosinusa u prvom tromjesečju.

Nacrtajmo krug jediničnog polumjera u pravokutnom koordinatnom sustavu (to jest, uzmemo bilo koji polumjer duž duljine i proglasimo njegovu duljinu jediničnom).

Od grede "0-Start" odvajamo uglove u smjeru strelice (vidi sliku).

Dobivamo odgovarajuće točke na kružnici. Dakle, ako projiciramo točke na svaku od osi, tada ćemo dobiti točno vrijednosti iz gornjeg lanca.

Zašto je to, pitate se?

Nemojmo sve rastavljati. Smatrati načelo, što će vam omogućiti da se nosite s drugim, sličnim situacijama.

Trokut AOB je pravokutni trokut s . A znamo da nasuprot kuta u leži krak dvostruko manji od hipotenuze (naša hipotenuza = polumjer kružnice, odnosno 1).

Dakle, AB= (i stoga OM=). I po Pitagorinom teoremu

Nadam se da je sad nešto jasno.

Dakle, točka B će odgovarati vrijednosti, a točka M će odgovarati vrijednosti

Slično i s ostalim vrijednostima prvog kvartala.

Kao što razumijete, os poznata nam (vol) bit će kosinus osi, a os (oy) - sinusna os . kasnije.

Lijevo od nule na osi kosinusa (ispod nule na osi sinusa) bit će, naravno, negativne vrijednosti.

Dakle, evo ga, SVEMOĆNOG, bez kojeg nigdje u trigonometriji.

Ali kako koristiti trigonometrijski krug, razgovarat ćemo.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Prikupljeno od nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.