ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектор (от лат. «vector » – «несущий») – направленный отрезок прямой в пространстве или на плоскости.

Графически вектор изображается в виде направленного отрезка прямой определенной длины. Вектор, начало которого находится в точке , а конец – в точке , обозначается как (рис. 1). Также вектор можно обозначать одной маленькой буквой, например, .

Если в пространстве задана система координат, то вектор можно однозначно задать набором своих координат. То есть под вектором понимается объект, который имеет величину (длину), направление и точку приложения (начало вектора).

Начала векторного исчисления появились в работах в 1831 году в работах немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Работы, посвященные операциям с векторами, опубликовал ирландский математик, механик и физик-теоретик, сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) в рамках своего кватернионного исчисления. Ученый предложил термин «вектор» и описал некоторые операции над векторами. Векторное исчисление получило свое дальнейшее развитие благодаря работам по электромагнетизму британского физика, математика и механика Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879). В 1880-х годах увидела свет книга «Элементы векторного анализа» американского физика, физикохимика, математика и механика Джозайя Уилларда Гиббса (1839-1903). Современный векторный анализ был описан в 1903 году в работах английского ученого-самоучки, инженера, математика и физика Оливера Хевисайда (1850-1925).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка, определяющего вектор. Обозначается как .

Основные виды векторов

Нулевым вектором называется вектор , у которого начальная точка и конечная точка совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют коллинеарными (рис. 2).

сонаправленными , если их направления совпадают.

На рисунке 2 – это векторы и . Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: .

Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их направления противоположны.

На рисунке 3 – это векторы и . Обозначение: .

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

(1)

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

(2)

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.

Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началом вектора, вторая - концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым. Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая - второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается и изображается стрелкой, обращенной острием к концу вектора (рис.1.1,а). Начало вектора называют также его точкой приложения. Говорят, что вектор \overrightarrow{AB} приложен к точке A . Длина вектора \overrightarrow{AB} или \vec{a} равна длине отрезка AB или a и обозначается \vline\,\overrightarrow{AB}\,\vline или |\vec{a}| . Имея в виду это обозначение, длину вектора называют также модулем, абсолютной величиной. Нулевой вектор, например \overrightarrow{CC} , обозначается символом \vec{o} и изображается одной точкой (точка C на рис.1.1,а). Вектор, длина которого равна единице или принята за единицу, называется единичным вектором.

Ненулевой вектор АВ кроме направленного отрезка определяет также содержащие его луч AB (с началом в точке A ) и прямую AB (рис.1.1,а).

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они принадлежат либо одной прямой, либо - двум параллельным прямым, в противном случае они называются неколлинеарными. Коллинеарность векторов обозначается знаком \parallel . Поскольку направление нулевого вектора не определено, он считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе.

Два ненулевых коллинеарных вектора называются одинаково направленными (сонаправленными), если они принадлежат параллельным прямым и их концы лежат в одной полуплоскости от прямой, проходящей через их начала (рис.1.2,а); либо, если векторы принадлежат одной прямой, и луч, определяемый одним вектором, целиком принадлежит лучу, определяемому другим вектором (рис. 1.2,6). В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными (рис.1.2,в,г). Одинаково направленные и противоположно направленные векторы обозначаются парами стрелок \uparrow\uparrow и \uparrow\downarrow соответственно. Понятия коллинеарных, одинаково направленных векторов распространяются на любое число векторов.

Компланарные векторы

Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис.1.3,а), в противном случае они называются некомпланарными (рис. 1.3,6). Так как направление нулевого вектора не определено, он считается компланарным с любыми двумя векторами. Понятие компланарных векторов распространяется на любое число векторов.

Равные векторы

Два вектора называются равными, если они:

а) коллинеарны, одинаково направлены;

б) имеют равные длины.

Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения. Далее будут рассматриваться, как правило, свободные векторы, при этом слово "свободные" будет опускаться.

Замечания 1.1.

1. Определение равенства векторов можно сформулировать, не используя понятия длины вектора. Два вектора \overrightarrow{AB} и , не лежащие на одной прямой, называются равными, если четырехугольник ABCD является параллелограммом (рис.1.4,а). Векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} , принадлежащие одной прямой, считаются равными, если существует равный им вектор \overrightarrow{EF} , не принадлежащий этой прямой (рис. 1.4,6). Это определение эквивалентно следующему: два вектора \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} называются равными, если середины отрезков AD и AD совпадают (рис. 1.4,в).

2. Отношение равенства векторов является отношением эквивалентности. В самом деле, для отношения равенства = ( \vec{a}=\vec{b} - "вектор \vec{a} равен вектору \vec{b} "), определенного на множестве упорядоченных пар \langle\vec{a},\vec{b}\rangle векторов, выполняются следующие условия:

а) каждый вектор равен самому себе (рефлексивность);

б) если вектор \vec{a} равен вектору \vec{b} , то вектор \vec{b} равен вектору \vec{a} (симметричность);

в) если вектор \vec{a} равен вектору \vec{b} и вектор \vec{b} равен вектору \vec{c} , то вектор \vec{a} равен вектору \vec{c} (транзитивность).

Это означает, что множество векторов разбивается на непересекающиеся классы (см. разд.В.З), т.е. с каждым вектором связывается целый класс равных ему векторов, отличающихся только точками приложения. Поэтому говорят , что свободный вектор определяет класс равных ему векторов.

3. Для любой точки A и любого вектора \vec{a} существует единственная точка B , для которой . В самом деле, если вектор \vec{a} ненулевой, то через точку A проходит единственная прямая, параллельная вектору a (рис.1.5,а), либо его содержащая (рис. 1.5,б). На этой прямой существуют две точки, удаленные от точки A на расстояние |\vec{a}|>0 . Из этих двух точек выберем такую точку B , для которой векторы \overrightarrow{AB} и \vec{a} оказываются одинаково направленными. По построению получаем \overrightarrow{AB}=\vec{a} . Если вектор \vec{a} нулевой, то искомая точка B совпадает с данной точкой A .

Таким образом, любой вектор \vec{a} ставит в соответствие каждой точке A единственную точку B такую, что \overrightarrow{AB}=\vec{a} . Это соответствие называют параллельным переносом. Поэтому свободный вектор можно отождествить с параллельным переносом.

4. Построение, рассмотренное в пункте 3, называется откладыванием вектора \vec{a} от точки A или приложением вектора \vec{a} к точке A .

Используя это построение, можно дать эквивалентные определения коллинеарности и компланарности. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если после приложения их к одной точке они лежат на одной прямой. Три ненулевых вектора называются компланарными, если после приложения их к одной точке они лежат в одной плоскости.

5. Кроме свободных векторов в приложениях векторной алгебры используются скользящие векторы, связанные (приложенные) векторы и др., которые отличаются от свободных векторов определением равенства. Например, скользящие векторы называются равными, если они лежат на одной прямой, одинаково направлены и имеют равные длины. Другими словами, в отличие от свободного вектора, скользящий вектор можно переносить, не меняя направления и длины, только вдоль содержащей этот вектор прямой. Например, в механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, а угловая скорость - свободным вектором. Сила, действующая на деформируемое тело, является примером так называемого приложенного вектора. Изменение точки приложения силы приведет к изменению ее воздействия на тело.

Пример 1.1. Дан треугольник ABC (рис. 1.6), точки L,M,N - середины его сторон. Для векторов, изображенных на рис. 1.6, указать коллинеарные, одинаково направленные, противоположно направленные, равные.

Решение. По теореме о средней линии треугольника заключаем, что ML \parallel AB,~LN \parallel AC . Поэтому векторы \overrightarrow{AM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NL} - коллинеарные (так как лежат на одной или параллельных прямых), одинаково направленные и имеют равные длины. Следовательно, это равные векторы: \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NL} . Аналогично, находим

\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ML},\quad \overrightarrow{AN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BN},\quad \overrightarrow{BN} \uparrow\downarrow \overrightarrow{ML},\quad \overrightarrow{CL} \uparrow\downarrow \overrightarrow{BL}\,.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.

Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Понятие вектора

Вектор — это направленный отрезок.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.

*Все представленные выше четыре вектора равны!

То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.

Обозначение векторов

Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:

При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.

Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС .

Записывается как АВ +ВС =АС .

Это правило называется – правилом треугольника .

То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Перенесём вектор b , или по-другому – построим равный ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

* * *

Правило параллелограмма

Это правило является следствием изложенного выше.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a , и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:

Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:

Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.

Пусть даны два вектора, найдём их разность:

Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.

Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:

То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.

Если

И координаты векторов имеют вид:

То c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Если

То c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Модуль вектора

Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Рассмотрим задачи:

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .

Найдём вектор, который будет являться результатом АО –ВО:

АО –ВО =АО +(–ВО )=АВ

То есть разность векторов АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ +AD .

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB BC равен вектору AD . Значит AB +AD =AB +BC =AC

AC это длина диагонали ромба АС , она равна 16.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО +ВО .

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО ВО равен вектору OD, з начит

AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО –ВО .

Найдём вектор, который будет являться результатом АО –ВО :

АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Стороны правильного треугольника ABC равны 3.

Найдите длину вектора АВ –АС .

Найдём результат разности векторов:

СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.

27663. Найдите длину вектора а (6;8).

27664. Найдите квадрат длины вектора АВ .

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.

Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :

Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1 . Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

2 . Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

3 . Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .

4 . Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

5 . Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6 . Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

7 .Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

8 .Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .

9 . Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

10 . Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

11 .Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).

12 . Задание 4 (№ 27720)

ABC равны Найдите длину вектора +.

13 . Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).

14 . Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox