Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.

Математическое определение

Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:

Здесь n означает номер элемента a n в последовательности, а число d - это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как "далеко" друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a 4 , a10, но, как правило, используют первое число, то есть a 1 .

Формулы для определения элементов прогрессии

В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.

Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.

Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a 1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (a n - a m) / (n - m), где n > m

Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между "старшим" и "младшим" членами, то есть n > m ("старший" - имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более "младшего" элемента).

Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.

В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз - восьмой, наконец, третий раз - девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

Задача, подобная предыдущей

Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти если а3 = 2, а9 = 19.

Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения "в лоб". Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:

d = (а 9 - а 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.

Задачи на применение формулы для an члена

Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.

Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a 1 , тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для a n члена. В данном случае имеем:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.

Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.

Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Арифметическая или - это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.

Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, ..., поскольку разность в этом случае равна 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важные формулы

Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом a n n-й член последовательности, где n - целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:

1. Для определения значения n-го члена подойдет формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Для определения суммы первых n слагаемых: S n = (a n +a 1)*n/2.

Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = a n - a n-1 .

Пример №1: нахождение неизвестного члена

Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.

Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, ..., необходимо в ней найти пять членов.

Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:

1. Вычислим для начала разность. Имеем: d = 8 - 10 = -2. Аналогичным образом можно было взять любые два других члена, стоящих рядом друг с другом. Например, d = 4 - 6 = -2. Поскольку известно, что d = a n - a n-1 , тогда d = a 5 - a 4 , откуда получаем: a 5 = a 4 + d. Подставляем известные значения: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Второй способ также требует знания разности рассматриваемой прогрессии, поэтому сначала нужно определить ее, как показано выше (d = -2). Зная, что первый член a 1 = 10, воспользуемся формулой для n числа последовательности. Имеем: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Подставляя в последнее выражение n = 5, получаем: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.

Пример №2: разность прогрессии

Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a 1 и a 7 , имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 - 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, - 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a 1 = -4 и a 5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a 5 = a 1 + 4 * d. Откуда: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a 1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a 15 = 50 и a 43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a 1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a 1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a 1 , а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второе уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откуда разность d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a 1 . Например, первым: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, ...,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название "гауссовой", поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m - целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a n и a m . Тогда получим: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S mn зависит только от n, m, a 1 и d. В нашем случае a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S mn = 301.

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a n и a m).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.

Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.

Разность прогрессии: определение

Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.

d = a(j) – a(j-1).

Выделяют:

• Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
• Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разность прогрессии и ее произвольные элементы

Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разность прогрессии и ее первый член

Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.

Разность прогрессии и ее сумма

Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Тема "прогрессия арифметическая" изучается в общем курсе алгебры в школах в 9 классе. Эта тема является важной для дальнейшего углубленного изучения математики числовых рядов. В данной статье познакомимся с прогрессией арифметической, ее разностью, а также с типичными задачами, с которыми могут столкнуться школьники.

Понятие о прогрессии алгебраической

Числовая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент можно получить из предыдущего, если применить некоторый математический закон. Известно два простых вида прогрессии: геометрическая и арифметическая, которую называют также алгебраической. Остановимся на ней подробнее.

Представим себе некоторое рациональное число, обозначим его символом a 1 , где индекс указывает его порядковый номер в рассматриваемом ряду. Добавим к a 1 некоторое другое число, обозначим его d. Тогда второй элемент ряда можно отразить следующим образом: a 2 = a 1 +d. Теперь добавим d еще раз, получим: a 3 = a 2 +d. Продолжая эту математическую операцию, можно получить целый ряд чисел, который будет называться прогрессией арифметической.

Как можно понять из изложенного выше, чтобы найти n-ый элемент этой последовательности, необходимо воспользоваться формулой: a n = a 1 + (n-1)*d. Действительно, подставляя n=1 в выражение, мы получим a 1 = a 1 , если n = 2, тогда из формулы следует: a 2 = a 1 + 1*d, и так далее.

Например, если разность прогрессии арифметической равна 5, а a 1 = 1, то это значит, что числовой ряд рассматриваемого типа имеет вид: 1, 6, 11, 16, 21, ... Как видно, каждый его член больше предыдущего на 5.

Формулы разности прогрессии арифметической

Из приведенного выше определения рассматриваемого ряда чисел следует, что для его определения необходимо знать два числа: a 1 и d. Последнее называется разностью этой прогрессии. Оно однозначно определяет поведение всего ряда. Действительно, если d будет положительным, то числовой ряд будет постоянно возрастать, наоборот, в случае d отрицательного, будет происходить возрастание чисел в ряду лишь по модулю, абсолютное же их значение будет уменьшаться с ростом номера n.

Чему равна разность прогрессии арифметической? Рассмотрим две основные формулы, которые используются для вычисления этой величины:

1. d = a n+1 -a n , эта формула следует непосредственно из определения рассматриваемого ряда чисел.
2. d = (-a 1 +a n)/(n-1), это выражение получается, если выразить d из формулы, приведенной в предыдущем пункте статьи. Заметим, что это выражение обращается в неопределенность (0/0), если n=1. Связано это с тем, что необходимо знание как минимум 2-х элементов ряда, чтобы определить его разность.

Эти две основные формулы используются для решения любых задач на нахождение разности прогрессии. Однако существует еще одна формула, о которой также необходимо знать.

Сумма первых элементов

Формула, с помощью которой можно определить сумму любого количества членов прогрессии алгебраической, согласно историческим свидетельствам, была впервые получена "принцем" математики XVIII века Карлом Гауссом. Немецкий ученый, еще будучи мальчиком в начальных классах деревенской школы, заметил, что для того, чтобы сложить натуральные числа в ряду от 1 до 100, необходимо сначала просуммировать первый элемент и последний (полученное значение будет равно сумме предпоследнего и второго, предпредпоследнего и третьего элементов, и так далее), а затем это число следует умножить на количество этих сумм, то есть на 50.

Формулу, которая отражает изложенный результат на частном примере, можно обобщить на произвольный случай. Она будет иметь вид: S n = n/2*(a n +a 1). Заметим, что для нахождения указанной величины, знание разности d не требуется, если известны два члена прогрессии (a n и a 1).

Пример №1. Определите разность, зная два члена ряда a1 и an

Покажем, как применять указанные выше в статье формулы. Приведем простой пример: разность прогрессии арифметической неизвестна, необходимо определить, чему она будет равна, если a 13 = -5,6 и a 1 = -12,1.

Поскольку нам известны значения двух элементов числовой последовательности, при этом один из них является первым числом, то можно воспользоваться формулой №2 для определения разности d. Имеем: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. В выражении мы использовали значение n=13, поскольку известен член именно с этим порядковым номером.

Полученная разность свидетельствует о том, что прогрессия является возрастающей, несмотря на то, что данные в условии задачи элементы имеют отрицательное значение. Видно, что a 13 >a 1 , хотя |a 13 |<|a 1 |.

Пример №2. Положительные члены прогрессии в примере №1

Воспользуемся полученным в предыдущем примере результатом, чтобы решить новую задачу. Она формулируется следующим образом: с какого порядкового номера элементы прогрессии в примере №1 начнут принимать положительные значения?

Как было показано, прогрессия, в которой a 1 = -12,1 и d = 0,54167 является возрастающей, поэтому с некоторого номера числа начнут принимать только положительные значения. Чтобы определить этот номер n, необходимо решить простое неравенство, которое математически записывается так: a n >0 или, используя соответствующую формулу, перепишем неравенство: a 1 + (n-1)*d>0. Необходимо найти неизвестное n, выразим его: n>-1*a 1 /d + 1. Теперь осталось подставить известные значения разности и первого члена последовательности. Получаем: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 или n>23,338. Поскольку n может принимать только целочисленные значения, из полученного неравенства следует, что любые члены ряда, которые будут иметь номер больше чем 23, будут положительными.

Проверим полученный ответ, воспользовавшись приведенной выше формулой, чтобы рассчитать 23 и 24 элементы этой прогрессии арифметической. Имеем: a 23 =-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (отрицательное число); a 24 =-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (положительное значение). Таким образом, полученный результат является верным: начиная с n=24 все члены числового ряда будут больше нуля.

Пример №3. Сколько бревен поместится?

Приведем одну любопытную задачу: во время заготовки леса было решено спиленные бревна укладывать друг на друга так, как это показано на рисунке ниже. Сколько бревен можно уложить таким образом, зная, что всего поместится 10 рядов?

В таком способе складывания бревен можно заметить одну интересную вещь: каждый последующий ряд будет содержать на одно бревно меньше, чем предыдущий, то есть имеет место прогрессия алгебраическая, разность которой d=1. Полагая, что число бревен каждого ряда - это член этой прогрессии, а также учитывая, что a 1 = 1 (на самом верху поместится только одно бревно), найдем число a 10 . Имеем: a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. То есть в 10-м ряду, который лежит на земле, будет находиться 10 бревен.

Общую сумму этой "пирамидальной" конструкции можно получить, если воспользоваться формулой Гаусса. Получаем: S 10 = 10/2*(10+1) = 55 бревен.

Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .

Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

Ответ: \(b_5=23\)

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

	Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\).
	Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента.
	Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(-3\)

Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:

	Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\).
	А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\).
	Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(7,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

	Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам : \(n=1\); \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_{2+1}=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_{3+1}=a_3+5=-1+5=4\) А вычислив нужные нам шесть элементов - находим их сумму.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Искомая сумма найдена.

Ответ: \(S_6=9\).

Пример (ОГЭ). В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(d=7\).

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:

Ответ: \(b_{246}=1850\).

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где

\(a_n\) – последний суммируемый член;

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\) \(\cdot 25\)		Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. Наша прогрессия задана формулой энного члена в зависимости от его номера (подробнее смотри ). Давайте вычислим первый элемент, подставив вместо \(n\) единицу.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять.
\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\)		Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму.
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac{2,8+84,4}{2}\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Ответ готов.

Ответ: \(S_{25}=1090\).

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример. Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Ответ: \(S_{33}=-231\).

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ). Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\)		Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Делим обе части неравенства на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\)		Переносим минус единицу, не забывая менять знаки
\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\) \(+1\)		Вычисляем…
\(n>65,333…\)		…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это.
\(n=65;\) \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_{66}=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов.
\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\) \(\cdot 65\) \(S_{65}=\)\({-38,6+19,2}{2}\)\(\cdot 65=-630,5\)		Ответ готов.

Ответ: \(S_{65}=-630,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\)	В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? Легко - чтобы получить сумму с \(26\)-го до \(42\)-ой, надо сначала найти сумму с \(1\)-ого по \(42\)-ой, а потом вычесть из нее сумму с первого до \(25\)-ого (см картинку).
	Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов.
\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\) \(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac{-66+164}{2}\) \(\cdot 42=2058\)	Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов.
\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\) \(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac{-66+96}{2}\) \(\cdot 25=375\)	Ну и наконец, вычисляем ответ.
\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\)

Ответ: \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .