Предварительные сведения

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теорема о сумме углов в треугольнике

Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^\circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)

Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$

Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Следовательно

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорема доказана.

Теорема о внешнем угле треугольника

Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.

Определение 4

Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).

Рассмотрим теперь непосредственно теорему.

Теорема 2

Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).

По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следовательно,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.

Тогда, по теореме 1 будем получать

$α+α+α=180^\circ$

Ответ: все углы равняются по $60^\circ$.

Пример 2

Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^\circ$.

Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:

Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^\circ$, то возможны два случая:

Угол, равный $100^\circ$ - угол при основании треугольника.

По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим

$∠2=∠3=100^\circ$

Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^\circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.

Угол, равный $100^\circ$ - угол между равными сторонами, то есть

Эта теорема сформулирована и в учебнике Атанасяна Л.С. , и в учебнике Погорелова А.В. . Доказательства этой теоремы в этих учебниках существенно не отличаются, а поэтому приведем ее доказательство, например, из учебника Погорелова А.В.

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство. Пусть АВС - данный треугольник. Проведем через вершину В прямую, параллельную прямой АС. Отметим на ней точку D так, чтобы точки А и D лежали по разные стороны от прямой ВС (рис.6).

Углы DВС и АСВ равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными прямыми АС и ВD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах В и С равна углу АВD. А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов АВD и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных АС и ВD и секущей АВ, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Идея этого доказательства состоит в проведение параллельной линии и обозначении равенства нужных углов. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте. Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента. Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы треугольника. Поместим его мысленно в такие условия, в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).



Такими условиями будут являться такое расположение углов треугольника, при котором все их три вершины будут совмещены в одной точке. Такое совмещение возможно, если допустить возможность «перемещения» углов, посредством движения сторон треугольника не меняя при этом угол наклона (рис.1). Такие перемещения по сути есть последующие мысленные трансформации (2 этап).



Производя обозначение углов и сторон треугольника (рис.2), углов получаемых при «перемещении», мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).

Линия АВ «перемещаясь» по линии ВС и не меняя к ней угла наклона, переводит угол 1 в угол 5, а «перемещаясь» по линии АС, переводит угол 2 в угол 4. Поскольку при таком «перемещении» линия АВ не меняет угла наклона к линиям АС и ВС, то очевиден вывод: лучи а и а1 параллельны АВ и переходят друг в друга, а лучи в и в1 являются продолжением соответственно сторон ВС и АС. Так как угол 3 и угол между лучами в и в1 - вертикальные, то они равны. Сумма этих углов равна развернутому углу аа1 - а значит 180°.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе проведены «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, с использованием структуры мысленного эксперимента, что явилось подтверждением сформулированной гипотезы.

Излагаемые доказательства, опирались на такие наглядно-чувственные идеализации: «сжатие», «растягивание», «скольжение», которые позволили особым образом трансформировать исходный геометрический объект и выделить его существенные характеристики, что характерно для мысленного эксперимента. При этом мысленный эксперимент выступает в роли определенного «креативного инструмента», способствующего появлению геометрического знания (например, о средней линии трапеции или об углах треугольника). Такие идеализации позволяют схватить в целом идею доказательства, идею проведения «дополнительного построения», что позволяет говорить о возможности более осознанного понимания школьниками процесса формально-дедуктивного доказательства геометрических теорем.

Мысленный эксперимент является одним из базовых методов получения и открытия геометрических теорем. Необходимо разработать методику передачи метода ученику. Остается открытым вопрос о приемлемом для «принятия» метода возрасте ученика, о «побочных эффектах» излагаемых таким образом доказательств.

Эти вопросы требуют дополнительного изучения. Но в любом случаи, несомненно, одно: мысленный эксперимент развивает у школьников теоретическое мышление, является его базой и, поэтому, способности к мысленному экспериментированию нужно развивать.

>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.


Цели урока:

• Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
• Доказательство свойства углов треугольника;
• Применение этого свойства при решении простейших задач;
• Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
• Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.

Задачи урока:


• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Треугольник;
2. Теорема о сумме углов треугольника;
3. Пример задач.

Треугольник.


Файл:O.gif Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция .
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия .

Теорема о сумме углов треугольника.


Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.



Доказательство":


Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.




Следствия.


Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.


Доказательство:


Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.





Следствия.

Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.


Задача.


Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
(Рис.1)


Решение:


Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С


Интересный факт:

Сумма углов треугольника":


В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.


Из истории математики:


Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».


Вопросы:


1. Что такое треугольник?
2. Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
3. Чему равен внешний угол треугольника?

“Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я научусь”
Восточная пословица

Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.

Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.

2. Повторение.

Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.

3. Новый материал.

3.1. Практическая работа.

У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.

Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.

Историческая справка

Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.

3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.

Теорема о сумме углов треугольника.

Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.



Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.

3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.

Доказать: A + B + C = 180 °

Доказательство:

1. Проведем через вершину B прямую BD // AC

2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.

3. ABD =ACB +CBD

Отсюда, A + B+C = ABD+BAC

4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.

3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.

Дано: АВС

Доказать: А+B +C=180 °

Доказательство:

1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ

2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей

3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.

4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.

3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.

Следствие 2.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
прямоугольный
тупоугольный
остроугольный

4. Закрепление.

4.1. Решение задач по готовым чертежам.

Найти неизвестные углы треугольника.



4.2. Проверка знаний.

1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:

Существуют ли треугольники с углами:

а) 30, 60, 90 градусов,

b) 46, 4, 140 градусов,

с) 56, 46, 72 градуса?

2. Может ли в треугольнике быть:

а) два тупых угла,

b) тупой и прямой углы,

с) два прямых угла?

3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.

4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?

5. Можно ли измерить углы любого треугольника?

Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)

5. Итог урока.

Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.

Домашнее задание.

П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.

. (Слайд 1)

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• Образовательные :
  • рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
  • показать применение теоремы при решении задач.
• Воспитательные :
  • воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
  • воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
• Развивающие :
  • развитие аналитического мышления,
  • развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
  • развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.

II. Устно (Слайд 2)

1) Найти на рисунках прямоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего и равнобедренного треугольника.

4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)

– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы, внутренние накрест лежащие углы, назвать их свойства



III. Объяснение нового материала

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о

По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.

Дано: Доказать:

Доказательство:

1. Через вершину В треугольника проведем прямую BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.

IV. Закончи предложение. (Слайд 4)

1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой, третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 1000, то углы при основании равны …



V. Немного истории. (Слайды 5-7)

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.)
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.),